Demostrar una identidad, cos y pecado, dos variables

Question

$$\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{\sin(x)+\cos(y)} = 2\cos(y)-2\sin(x)$$

La pregunta comprobar la identidad. Me trató de simplificar la primera mitad, pensé tal vez podría ampliar y simplificar las fórmulas de ángulo doble.

Cambia a $$\cos(x)^2 - sin(x)^2 + cos(y)^2 - sin(y)^2$ $ e intentado algunas cosa como eso, pero estoy atrapado en ese momento. ¿Estoy aún en el camino correcto aquí, o forma de?

Answer 1

Tenemos, usando la identidad $\cos^2{x}+\sin^2{x}=1$: $$ \cos{2x} = \cos^2{x}-\sin^2{x} = 2\cos^2{x}-1 = 1-2\sin^2{x}. $ $ entonces $ \cos{2x}+\cos{2y} = 2\sin 1 ^ 2 {x} + 2\cos ^ 2 {y} -1 = 2(\cos^2{y}-\sin^2{x}) \ = 2(\cos{y}-\sin{x})(\cos{y}+\sin{x}), $$ y da dividir la identidad necesaria.

Answer 2

Las dos expresiones dan son igual si y sólo si $\sin x+\cos y\ne0$ y $$ \cos2x+\cos2y=2(\sin x+\cos y) (\cos y-\sin x) $$ el lado derecho puede ser reescrito como $$ 2\cos ^ 2\sin 2y ^ 2 x $$ y nosotros podemos recordar las fórmulas del ángulo mitad $$ \cos^2y=\frac{1+\cos2y}{2} \qquad \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2} $$ para el lado derecho se convierte en $$ 2\frac {1 + \cos2y} {2}-2\frac {1-\cos2x} {2} $