Cadena de ideales primarios de longitud máxima

Question

Considere el dominio$R=\mathbb{C}[x,y]/(y^2-x^3)$.

¿Cuál sería un ejemplo de una cadena de ideales primordiales de$R$ de longitud máxima?

Answer 1

La parte más difícil de aquí parece ser que prueben que $y^2 - x^3$ es irreductible, que voy a intentar mostrar a continuación. En general, una irreductible hipersuperficie en $\mathbf A^n$ tiene dimensión $n - 1$. Esto queda demostrado en la mayoría de los textos sobre la geometría algebraica — véase, por ejemplo, la Proposición 2.25 de Milne notas. [Prof Emerton notas en los comentarios que aquí se $R$ es visiblemente finito $\mathbf C[x]$, y por lo tanto, estos dos anillos tienen la misma dimensión.] Así que toma el cero ideal de $R$ y un ideal maximal (correspondiente a un punto de la curva) de $R$.

Para concluir, supongamos que tenemos $y^2 - x^3 = f(x, y)g(x, y)$ donde $y$ se produce en $f(x, y)$. Supongamos que $\deg_yf = 1$. A continuación, $\deg_y g = 1$ y podemos escribir $$f(x, y) = a(x)y + b(x) \qquad \text{y} \qquad g(x, y) = c(x)y + d(x).$$ A continuación,$a(x)c(x) = 1$, por lo que, después de barajar alrededor de factores constantes que podemos tener $a = c = 1$. La multiplicación de las cosas, obtenemos $$y^2 - x^3 = y^2 + y(b(x) + d(x)) + b(x)d(x).$$ Así que debemos tener $d = -b$ y, por tanto,$\deg b = \deg d$. Pero entonces el grado de la izquierda con respecto a $x$ es, incluso, lo cual es absurdo. El caso de $\deg_yf = 2$ pueden ser tratados con las mismas ideas y es ligeramente más fácil de arranque.

Yo estaría muy interesado en un más geométrica o al menos conceptual manera de ver esto. Mi dimensión-fu es un poco oxidado.