LCM en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no existe

Question

<blockquote> <p>Necesito demostrar que lcm $2$ y $1+\sqrt{-5}$ no existe en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$</p> </blockquote> <p>No que ninguna idea de cómo empezar, estaba pensando cuando lcm no existe!</p>

Answer 1

Supongo que usted sabe que el cuadrado del módulo de la función $N(a+bi)=a^2+b^2$. En $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ esto se convierte en $$ N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2 $$ Los valores de $a^2+5b^2$ son sumas de $a^2\in\{1,4,9,16,...\}$$5b^2\in\{5,20,...\}$, por lo que tenemos $a^2+5b^2\in\{1,4,5,6,9,13,...\}$. En particular, ningún elemento $x\in\mathbb Z[\sqrt{-5}]$$N(x)=2,3,7,etc.$.

Además $N(xy)=N(x)N(y)$ puede ser fácilmente demostrado. Ahora si $xy=1$ tenemos $N(x)N(y)=1$, lo que muestra que el $N(x)=N(y)=1$. Por lo $x$ es una unidad iff $N(x)=1$. De hecho, $\pm 1$ son las unidades en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$.

Con esto podemos ver que cualquier $z\in\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ $N(z)=4$ tiene que ser irreductible. Por si $z=xy$ tenemos $N(z)=N(x)N(y)=4$, y como se dijo anteriormente, $N(x)=N(y)=2$ es imposible, así que suponiendo que WLOG $N(x)<N(y)$ obtenemos $N(x)=1$ para que se divida $4$, lo $x$ es una unidad de muestra que $z$ es irreductible. Un argumento similar muestra que si $N(z)=6$ o $N(z)=9$, $z$ es irreductible.

Ahora considere el $N(6)=36=2^2\cdot 3^2=6\cdot 6=4\cdot 9$. Las dos últimas expresiones son la única factorizations de $36$ en los factores de $\{4,5,6,9,13,...\}$ (unidades se han quedado fuera). Así que si $6=xy$ tenemos $N(6)=N(x)N(y)=6\cdot 6=4\cdot 9$, lo $N(x)=N(y)=6$ o $N(x)=4$$N(y)=9$. Si nos encontramos con factores tales serán irreducibles por el párrafo anterior. Ahora $$ 6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) $$ muestra de que tenemos dos irreductible factorizations de $6$$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$. Y hasta la multiplicación por unidades de estos debe ser único.

En particular, las ecuaciones anteriores muestran que $6$ es un múltiplo común de a$2$$1+\sqrt{-5}$. Así que si $\text{lcm}(2,1+\sqrt{-5})$ existía sería dividir 6. Y se podría dividir a $2(1+\sqrt{-5})$. Pero debido a que estos factorizations son irreductibles sólo $2$ $1+\sqrt{-5}$ son candidatos que divide tanto a a $6$ $2(1+\sqrt{-5})$ al mismo tiempo. Pero ninguno de ellos es común múltiplo de a$2$$1+\sqrt{-5}$. Así que, finalmente, podemos concluir que el mínimo común múltiplo no existe.

Answer 2

Que $a=x+y\sqrt{-5}$ ser un LCM de $2$ y $1+\sqrt{-5}$. Entonces es igual ideal $(a)$ $I:=(2) \cap (1+\sqrt{-5})$. Se aprecia que el $I$ tiene índice $12$ $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Pero índice $(a)$ que es diferente de $Nm(a)=x^2+5y^2$ $12$.