Convergencia epsilon - compruebe mi prueba por favor

Question

Pregunta bastante sencilla (eso espero), estaría muy agradecido si alguien pudiera comprobar mi prueba.

Necesito demostrar que $\frac{n+1}{n+3} \to 1 \space \text{as} \space n \to \infty$ .

Empiezo por elegir un $\epsilon > 0$ .

Entonces voy a poner $N \in \mathbb{N}$ tal que $N \geq \frac{2}{\epsilon} - 1$

Entonces, para algunos $n \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq N$ se sostiene que

$n \geq \frac{2}{\epsilon} - 1$

$| \frac{n+1}{2} | \geq \frac{1}{\epsilon}$

$| \frac{2}{n+1}| \leq \epsilon$

$| \frac{n+3}{n+1} - 1 | \leq \epsilon$ según sea necesario.

Edición: Me doy cuenta de que en algunos casos, la convergencia es en el intervalo abierto, pero mi profesor utiliza vecindades épsilon cerradas en su definición.

Answer 1

El último paso no es bueno, tienes <= y luego lo conviertes en < . Los dos no son equivalentes. Comienza con < desde el principio y todo irá bien. Es decir: elige N de forma que $N > 2/\epsilon - 1$ .

Answer 2

Su respuesta es perfectamente correcta ...