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¿Intuición para idempotentes, idempotentes ortogonales?

Dado un anillo $A$ un elemento $e \in A$ se denomina idempotente si se tiene $e^2 = e$ . Si $e$ es un idempotente, entonces también lo es $1 - e$ ya que $$(1 - e)^2 = 1 - 2e + e^2 = 1 - 2e + e = 1 - e.$$ Además, tenemos $e(1 - e) = 0$ . Este es un caso especial de la siguiente situación.

Una colección de elementos $e_1, \dots, e_n \in A$ se dice que es un conjunto de idempotentes ortogonales si se tiene $$e_i^2 = e_i \text{ and }e_ie_j = 0 \text{ for }i \neq j.$$

Mi pregunta es, ¿cuál es la intuición subyacente tras los idempotentes y los idempotentes ortogonales? Me resulta bastante difícil trabajar con ellos...

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Para empezar, consulte Descomponga su anillo utilizando idempotentes. También ver aquí para saber cómo los idempotentes en $\,\Bbb Z/n\,$ corresponden a factorizaciones de $n$ en factores coprimos.

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Adam Malter Puntos 96

Lo que sigue es una intuición muy agradable. Supongamos que su anillo $A$ es en realidad un subring del anillo de todas las funciones $S\to\mathbb{R}$ para algún conjunto $S$ donde la suma y la multiplicación de funciones se define puntualmente (si lo desea, puede sustituir $\mathbb{R}$ con cualquier campo, o incluso tener diferentes campos como el codominio en diferentes puntos de $S$ ). Entonces una función $e\in A$ es idempotente si $e(s)^2=e(s)$ para todos $s\in S$ es decir, si $e(s)=0$ o $e(s)=1$ para todos $s\in S$ . Dicha función viene determinada por el conjunto $T=\{s:e(s)=1\}\subseteq S$ y se denomina función característica de $T$ escribimos $e=1_T$ .

En este caso, el hecho de que $1-1_T$ también es idempotente es obvio, y tenemos $1-1_T=1_{S\setminus T}$ . El producto de dos idempotentes es también idempotente, con $1_T1_U=1_{T\cap U}$ . Así que decir que $1_T$ y $1_U$ son ortogonales es decir que $1_{T\cap U}=0$ lo que significa que $T\cap U=\emptyset$ . Es decir, los idempotentes ortogonales corresponden a subconjuntos disjuntos de $S$ . (Atención: en un anillo general, no siempre es cierto que un producto de idempotentes sea idempotente; sin embargo, es cierto en anillos conmutativos, o más generalmente si los idempotentes conmutan).

Así pues, los idempotentes corresponden a subconjuntos de $S$ (o al menos, aquellos subconjuntos cuyas funciones características están en el anillo $A$ ), la operación $e\mapsto 1-e$ corresponde a tomar complementos de conjuntos, y tomar productos de idempotentes corresponde a intersecar conjuntos. Te dejo que compruebes que formar uniones de conjuntos corresponde a la operación $(e,f)\mapsto e+f-ef$ en idempotentes. (Advertencia: De nuevo, no es cierto en un anillo general que $e+f-ef$ es un idempotente; se necesita $e$ y $f$ para desplazarse).

También se puede entender fácilmente el ideal generado por un idempotente a partir de esta correspondencia. A saber, si $e=1_T$ es idempotente y $f$ está en el ideal generado por $e$ podemos escribir $f=eg$ para algunos $g$ y encontramos que $f(s)=e(s)g(s)=0\cdot g(s)$ para todos $s\not\in T$ . Por el contrario, si $f(s)=0$ para todos $s\not\in T$ entonces $f=ef$ ya que $e(s)=1$ para todos $s\in T$ . Por tanto, el ideal generado por $e$ no es más que el conjunto de todas las funciones de $A$ que desaparecen en el complemento de $T$ .

Si bien este debate se basó en el supuesto de que $A$ era un tipo muy especial de anillo (un anillo de funciones de valor real sobre algún conjunto), las intuiciones que da suelen ser útiles para pensar en los idempotentes en anillos generales (aunque, como se indica en las advertencias anteriores, es una intuición más precisa en anillos conmutativos que en anillos no conmutativos). De hecho, todo anillo conmutativo sin elementos nilpotentes es isomorfo a un anillo de funciones de algún conjunto a un campo, si se permite que el campo sea diferente en distintos puntos del conjunto; ésta es una idea central en geometría algebraica. Dado que al modificar el nilradical de un anillo conmutativo no cambian sus idempotentes, esto significa que la historia anterior es, en cierto sentido, directamente aplicable a cualquier anillo conmutativo.

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Tal vez sea mejor decir: "sin elementos nilpotentes distintos de cero" en lugar de "sin elementos nilpotentes". Buena respuesta, por cierto.

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Michael Hardy Puntos 128804

La proyección ortogonal $Px$ de un punto $x\in\mathbb R^n$ en un subespacio lineal $W\subseteq\mathbb R^n$ es un punto $Px\in W$ con la propiedad de que $x-Px$ es ortogonal a $Px$ y de hecho ortogonal a cada miembro de $W$ . Esto es justo lo que la intuición geométrica sugeriría: trazar una línea recta a través del origen y llamarla $W$ . Sea $x$ sea un punto que no esté en $W$ . Traza la línea desde $x$ a $W$ que es ortogonal a $W$ . Donde se cruza esa línea $W$ es $Px$ .

Observe que $P$ es idempotente: $P^2=P$ . ( $P$ también es autoadjunto: $P^T=P$ .)

Ahora dejemos que $Q = I-P$ donde $I$ es el mapa de identidad. Obsérvese que $Px$ y $Qx$ son ortogonales entre sí y $Qx$ es la proyección ortogonal de $x$ en el complemento ortogonal del espacio $W$ . La cartografía $Q$ satisface $Q=Q^2 = Q^T$ .

$P$ y $Q$ son proyecciones ortogonales complementarias.

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Y si $P_1,\dots,P_n$ son proyecciones de esta forma y $P_iP_j=P_jP_i=0$ para $i\neq j$ los subespacios correspondientes son ortogonales.

3voto

Fat Mind Puntos 826

Consideremos las sumas directas de anillos unitales, $S=R_1\oplus R_2\oplus\cdots \oplus R_n$ . Si los anillos $R_1,\cdots,R_n$ no tienen más idempotentes que $0$ y $1$ entonces los idempotentes de $S$ son vectores cuyas coordenadas son $0$ o $1$ . Si $e$ es uno de esos idempotentes, entonces $1-e$ es el idempotente obtenido intercambiando todos los $0$ s y $1$ s, y entonces resulta obvio $e(1-e)$ es $0$ en cada coordenada. Todos estos idempotentes son centrales. Tomemos $e_i$ el vector de coordenadas con $i$ ª coordenada $1$ y todas las demás coordenadas $0$ . El principal ideal que $e_i$ genera es precisamente $R_i$ en el $i$ y $0$ en todas las demás coordenadas. Además, $e_ie_j=0$ si $i\ne j$ y $e_i^2=e_i$ para cada $i$ y todos los $e_i$ s son fundamentales. Así $\{e_i\}$ es una colección de idempotentes centrales, primitivos y ortogonales.

Así que los idempotentes son útiles para descomponer anillos directamente. De hecho, de forma más general, son útiles para descomponer módulos. Para cada idempotente $e\in S$ y $S$ -módulo $M$ tenemos la descomposición de la suma directa $M=eM\oplus (1-e)M$ . Esto tiene sentido incluso si $S$ no tiene un $1$ se puede interpretar simplemente $(1-e)M=\{m-em:m\in M\}$ . ¿Puedes demostrar esta descomposición? Cuantos más idempotentes se encuentren, más se puede descomponer un módulo. Los idempotentes primitivos se dan cuando no se puede descomponer $eS$ más (aunque podría hacerlo con $(1-e)S$ ).

Para anillos generales $S$ si perdemos la condición de centralidad, aún podemos descomponer el álgebra descomponiéndola como un módulo en ambos lados. Establecer $f=1-e$ y escribe

$$\begin{array}{ll} S & = eS\oplus fS \\ & =e(Se\oplus Sf)\oplus f(Se\oplus Sf)\\ & = eSe\oplus eSf\oplus fSe\oplus fSf. \end{array} $$

Básicamente, es $(e+f)S(e+f)$ se expandió. Aunque, una vez más, esto incluso tiene sentido si $S$ no tiene un $1$ si se interpretan las cosas correctamente.

0voto

goblin Puntos 21696

He aquí el ejemplo concreto más sencillo. Fijar un número natural $n$ . Entonces dado $i,j<n$ Escriba $E^{ij}$ para la $n \times n$ matriz con un $1$ en posición $(i,j)$ y $0$ en todos los demás casos (empiezo la numeración en la posición $(0,0)$ .) De ello se deduce que $E^{ij}E^{jk} = E^{ik},$ de lo contrario, el producto es $0$ . Por lo tanto, el conjunto $\{E^{ii} \mid i < n\}$ consiste en idempotentes ortogonales. De hecho, se puede demostrar que se trata de un conjunto máximo de idempotentes ortogonales.

Ahora considere la $C$ -generado por $\{E^{ii} \mid i < n\}$ donde $C$ es un anillo conmutativo. Obsérvese que esto no es más que el $n \times n$ matrices diagonales. Esto explica por qué es tan fácil tomar productos de matrices diagonales. Es porque podemos escribir...

$$\left(\sum_{i<n}a_i E^{ii}\right)\left(\sum_{i<n}b_i E^{ii}\right) = \sum_{i,j<n}a_i b_j E^{ii} E^{jj} = \sum_{i,j<n}a_i b_j E^{ii}[i=j] = \sum_{i<n}a_i b_i E^{ii}$$

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