Lo que sigue es una intuición muy agradable. Supongamos que su anillo $A$ es en realidad un subring del anillo de todas las funciones $S\to\mathbb{R}$ para algún conjunto $S$ donde la suma y la multiplicación de funciones se define puntualmente (si lo desea, puede sustituir $\mathbb{R}$ con cualquier campo, o incluso tener diferentes campos como el codominio en diferentes puntos de $S$ ). Entonces una función $e\in A$ es idempotente si $e(s)^2=e(s)$ para todos $s\in S$ es decir, si $e(s)=0$ o $e(s)=1$ para todos $s\in S$ . Dicha función viene determinada por el conjunto $T=\{s:e(s)=1\}\subseteq S$ y se denomina función característica de $T$ escribimos $e=1_T$ .
En este caso, el hecho de que $1-1_T$ también es idempotente es obvio, y tenemos $1-1_T=1_{S\setminus T}$ . El producto de dos idempotentes es también idempotente, con $1_T1_U=1_{T\cap U}$ . Así que decir que $1_T$ y $1_U$ son ortogonales es decir que $1_{T\cap U}=0$ lo que significa que $T\cap U=\emptyset$ . Es decir, los idempotentes ortogonales corresponden a subconjuntos disjuntos de $S$ . (Atención: en un anillo general, no siempre es cierto que un producto de idempotentes sea idempotente; sin embargo, es cierto en anillos conmutativos, o más generalmente si los idempotentes conmutan).
Así pues, los idempotentes corresponden a subconjuntos de $S$ (o al menos, aquellos subconjuntos cuyas funciones características están en el anillo $A$ ), la operación $e\mapsto 1-e$ corresponde a tomar complementos de conjuntos, y tomar productos de idempotentes corresponde a intersecar conjuntos. Te dejo que compruebes que formar uniones de conjuntos corresponde a la operación $(e,f)\mapsto e+f-ef$ en idempotentes. (Advertencia: De nuevo, no es cierto en un anillo general que $e+f-ef$ es un idempotente; se necesita $e$ y $f$ para desplazarse).
También se puede entender fácilmente el ideal generado por un idempotente a partir de esta correspondencia. A saber, si $e=1_T$ es idempotente y $f$ está en el ideal generado por $e$ podemos escribir $f=eg$ para algunos $g$ y encontramos que $f(s)=e(s)g(s)=0\cdot g(s)$ para todos $s\not\in T$ . Por el contrario, si $f(s)=0$ para todos $s\not\in T$ entonces $f=ef$ ya que $e(s)=1$ para todos $s\in T$ . Por tanto, el ideal generado por $e$ no es más que el conjunto de todas las funciones de $A$ que desaparecen en el complemento de $T$ .
Si bien este debate se basó en el supuesto de que $A$ era un tipo muy especial de anillo (un anillo de funciones de valor real sobre algún conjunto), las intuiciones que da suelen ser útiles para pensar en los idempotentes en anillos generales (aunque, como se indica en las advertencias anteriores, es una intuición más precisa en anillos conmutativos que en anillos no conmutativos). De hecho, todo anillo conmutativo sin elementos nilpotentes es isomorfo a un anillo de funciones de algún conjunto a un campo, si se permite que el campo sea diferente en distintos puntos del conjunto; ésta es una idea central en geometría algebraica. Dado que al modificar el nilradical de un anillo conmutativo no cambian sus idempotentes, esto significa que la historia anterior es, en cierto sentido, directamente aplicable a cualquier anillo conmutativo.
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Para empezar, consulte Descomponga su anillo utilizando idempotentes. También ver aquí para saber cómo los idempotentes en $\,\Bbb Z/n\,$ corresponden a factorizaciones de $n$ en factores coprimos.