¿Puede un conjunto abierto ser cubierto por subconjuntos abiertos adecuados?

Question

Deje que $(X, \tau )$ ser un espacio topológico, que $U \in\tau $ . Una cubierta abierta de $U$ es un conjunto $\{U_i \ |\ i \in I\}$ (de conjuntos abiertos $U_i$ ) cuya unión $ \bigcup U_i$ contiene $U$ .

Si $U \subsetneq X$ Entonces $U$ admite una cobertura abierta por conjuntos abiertos $\{U_i \ |\ i \in I\}$ donde un conjunto abierto arbitrario $U_i$ puede no ser un subconjunto de $U$ . (Creo que )

¿Desea $U$ admitir una cubierta abierta por conjuntos abiertos $\{U_i \ |\ i \in I\}$ donde cada conjunto abierto $U_i$ es un subconjunto adecuado de $U$ ? Menos formalmente: dado un conjunto abierto arbitrario $U$ ¿podemos encontrar una cubierta abierta de $U$ compuesto sólo por conjuntos abiertos "dentro" de $U$ ?

Si la respuesta es no, entonces, ¿cuáles son los conjuntos abiertos $U$ que admiten tales coberturas "internas"?

¿La respuesta es diferente si reemplazamos $U$ por un conjunto cerrado arbitrario?

Answer 1

Depende. Considere $ \mathbb {R}$ con la topología habitual y $U = (0,1)$ entonces podemos escribir $(0,1) = \bigcup_ {n=2}^ \infty\left ( \frac1n ,1 \right )$ por ejemplo. Ya que cada conjunto abierto $U \subset\mathbb {R}$ es la unión de intervalos, significa que cada subconjunto abierto de $ \mathbb {R}$ puede escribirse como la unión de subconjuntos abiertos propios de sí mismo. Es fácil ver que el mismo argumento puede aplicarse a los espacios vectoriales normalizados generales.

Sin embargo, si un solo tonelada $\{x\}$ es un conjunto abierto de su espacio, entonces no hay subconjuntos abiertos apropiados de $\{x\}$ para unirse.

Answer 2

Un espacio se llama $T_1$ si, por dos puntos cualquiera en el espacio, cada uno tiene un vecindario abierto que no se encuentra con el otro. Este es uno de los muchos axiomas de separación que miden la fuerza con la que podemos separar puntos en el espacio. Para algunos matemáticos, los espacios topológicos no valen ni siquiera la pena considerarlos hasta que son al menos $T_2$ (Hausdorff), que es aún más fuerte. (Esto quiere decir que todas las topologías, excepto las más patológicas, son al menos $T_1$ .)

Podemos construir una cubierta del tipo que describes si el espacio es al menos $T_1$ y $U$ contiene más de un punto. Para cada uno de ellos $x \in U$ construir un vecindario abierto $U_x$ de la siguiente manera:

1. Elija cualquiera $y \in U$ que es distinto de $x$ .
2. Apelación a la $T_1$ propiedad para conseguir un conjunto abierto $G_x$ que contiene $x$ pero no contiene $y$ .
3. Set $U_x = G_x \cap U$ para que $U_x$ es un subconjunto abierto adecuado de $U$ que contiene $x$ .

Finalmente, podemos tomar $\{U_x \mid x \in U\}$ como una cubierta abierta de $U$ por subconjuntos abiertos adecuados.

Answer 3

Muestra que $K = [0,1]$ no pueden ser cubiertos por los conjuntos abiertos que están contenidos en $K$ .

Si $U$ está abierto, entonces $U$ puede ser cubierto por $\{U\}$ . Si $U$ es un singleton abierto, entonces no hay cobertura por subconjuntos adecuados.

Cuando $U$ está abierto, entonces para todos $x$ en $U$ hay un conjunto de bases abiertas $U_x$ con $x$ en $U_x$ subconjunto $U$ . A menudo los conjuntos de base pueden ser elegidos para ser subconjuntos adecuados.