¿Está conectado el siguiente conjunto (ruta)?

Question

Esta es una pregunta de tarea. $d,n\ge 2$.

Que $L={(x_1,...,x_n)\in (\mathbb{R}^d)^n: x_i\in \mathbb{R}^d, x_i\ne x_j \forall i\ne j}$.

Tiendo a pensar que no es camino conectado porque si asumes $d=1$, este es el caso. Pero no puedo probar para $d\ge 2$.

¡Cualquier ayuda será apreciada! :)

Answer 1

Dados dos puntos $a=(a_1,\dots,a_n),b=(b_1,\dots,b_n)\in L$, siempre hay otro $c=(c_1,\dots,c_n)\in L$ todos $c_k\in\mathbb R^d$ diferente de todos los $a_i,b_j\in\mathbb R^d$.

Uno puede dibujar una ruta en $L$$a$$(c_1,a_2,\dots,a_n)$, luego otro a $(c_1,c_2,a_3,\dots)$, y así sucesivamente hasta que uno llega a $c=(c_1,\dots,c_n)$. Tenga en cuenta que todos los intermedios conjunta de los puntos están en $L$ por la elección de $c$.

De$a=(a_1,\dots,a_n)$$(c_1,a_2,\dots,a_n)$. Considerar en $\mathbb R^d$ el complemento de $U$ de los puntos de $a_2,\dots,a_n$. Desde $d\ge2$, el conjunto abierto $U$ es el camino-conectado (incluso por polygonals) y $a_1,c_1\in U$ por la elección de $c$. Por lo tanto, no es un camino de $x_1:[0,1]\to U$$x_1(0)=a_1,x_1(1)=c_1$. Para cada $t$ tenemos $x(t)\in U$, por lo que el $x_1(t)\ne a_2,\dots,a_n$ y, en consecuencia, $(x_1(t),a_2,\dots,a_n)$ es un camino en el $L$ como estábamos buscando.

De$a=(c_1,a_2,\dots,a_n)$$(c_1,c_2,a_3,\dots,a_n)$. Argumentar lo mismo ahora con el complemento de $U$ de los puntos de $c_1,a_3,\dots,a_n$, complemento que contenga $a_2,c_2$, para obtener un camino de $(c_1,x_2(t),a_3,\dots,a_n)$$L$$x_2(0)=a_2,x_2(1)=c_2$.

Por lo tanto nos encontramos con un camino de $L$$a$$c$. Del mismo modo, se construye otro de$b$$c$, y poner juntos nos conectamos $a$$b$.