Trazado de diagramas de fase de ecuaciones diferenciales

Question

No tengo Matlab, ni he encontrado una herramienta online adecuada. ¿Podría alguien trazar el diagrama de fases para lo siguiente, o indicarme la dirección correcta?

$$\frac{dx}{dt} = y - x, \frac{dy}{dt} = x(4 - y)$$

Answer 1

Puede utilizar WolframAlpha :

stream plot (y-x,x(4-y)), x=-1..5, y=-1..5

Siempre es bueno verificar este tipo de cosas con herramientas analíticas. Los equilibrios satisfacen

\begin {align} y-x &= 0 \\ x(4-y) &= 0 \end {align}

De la segunda ecuación, $x=0$ o $y=4$ . De la primera ecuación, $x=y$ . Por lo tanto, hay dos equilibrios en los puntos $(0,0)$ y $(4,4)$ . La naturaleza de los equilibrios puede determinarse a partir de los valores propios de la matriz $$ \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 4-y & -x \end{array} \right) $$ Las filas son las derivadas parciales con respecto a $x$ y $y$ del sistema. En $x=y=4$ los valores propios son $-4$ y $-1$ y en $x=y=0$ hay un valor propio positivo y un valor propio negativo. Esto es consistente con la imagen.

Answer 2

Puede utilizar octave en su lugar (este es un clon libre y abierto de matlab ). Puedes evaluar tu sistema ODE mediante una función vectorial como:

function dx = f(x,t)
   dx(1) = x(2) - x(1);
   dx(2) = x(1)*(4-x(2));
end

Entonces puedes resolverlo usando lsode para un conjunto dado de condiciones iniciales en un rango de tiempo definido:

xs = lsode(@f,[1,2],0:0.01:10);

También puede trazar el campo vectorial asociado al sistema utilizando quiver función. Imprimir xs sobre ella te dan la trayectoria para las condiciones iniciales que has elegido. Trazando varias trayectorias obtendrás una idea más precisa del diagrama de fases asociado.

Los siguientes gráficos se han elaborado con octava utilizando el procedimiento anterior: