¿Error o no en esas notas GR?

Question

Dadas %#% $ de #% queremos eliminar ese término Cruz $$ds^2=-A(r)dt^2+B(r)dr^2+2C(r)drdt+D(r)r^2(d\theta^2+\sin^2d\phi^2),\tag{23.1}$ sobre el cambio de variable tal que. Esto puede suceder en $2C(r)drdt$ $

¿Como estoy tratando de hacer los detalles para ver si esto funciona, resulta no funciona a menos que $$T(t,r)=t+\psi(r)\tag{23.2}$ $ estoy equivocado aquí? No estoy seguro si esto es un error o no.

Answer 1

El libro es correcto. Cumplir con el sector de radio de tiempo, estamos ante la transformación\begin{align} t & \to T = t + \psi, \ r & \to r, \end align {} donde $\psi$ es una función de sólo $r$. En las nuevas coordenadas, tenemos\begin{align} \require{cancel} g{Tr} & = \frac{\partial x^\mu}{\partial T} \frac{\partial x^\nu}{\partial r} g{\mu\nu} \ & = \cancelto{1}{\frac{\partial t}{\partial T}} \left(\cancelto{-\psi'}{\frac{\partial t}{\partial r}} g{tt} + \cancelto{1}{\frac{\partial r}{\partial r}} g{tr}\right) + \cancelto{0}{\frac{\partial r}{\partial T}} \left(\frac{\partial t}{\partial r} g{rt} + \frac{\partial r}{\partial r} g{rr}\right) \ & = -\psi' g{tt} + g{tr}. \end {Alinee el} $g_{Tr}$ a desaparecer, es necesario y suficiente para elegir %#% $ #%

Answer 2

El libro está bien, de hecho, pero podemos estar seguros que por la comprobación de un ejemplo sencillo. Vamos a tomar todas sus funciones ($A, B, C, D$) igual a $1$, e ignorar la parte angular:

$$ds^2 = -dt^2 + dr^2 +2\,dt\,dr$$

Ahora la pregunta es si $\psi = r$ (su versión) o $\psi = -r$ (el libro de la versión). Vamos a decir $\psi = \epsilon\, r$,$\epsilon = \pm 1$. Reemplazando:

$$ds^2 = -dT^2 -2\epsilon\, dr^2 + 2(\epsilon+1)dT\,dr$$

Así que necesitamos a$\epsilon =-1$, $d \psi / dr = -C/A$.

Edit: parece estar teniendo problemas con una cosa en particular. Las coordenadas originales se $(t,r)$. Por lo tanto, la búsqueda de $dT^2$ en términos de $dt$ $dr$ no es muy útil, ya que lo que queremos hacer es encontrar a $dt^2$ en términos de$dT$$dr$! La relación es$dt = dT-\psi' dr$$dt^2 = dT^2 -2\psi' dt\,dr +\psi'^2 dr^2$, que se debe conectar en su expresión original para $ds^2$ encontrar la nueva métrica escrito en términos de$T$$r$.