Probabilidad de que dos personas se encuentren en una cuadrícula no cuadrada

Question

Supongamos que una persona sale de su casa hacia el gimnasio (ocho manzanas al este y cinco al norte). Además, supongamos que esta persona quiere mantener la ruta lo más corta posible, pero le gusta variarla:

Hay $C(13,8)$ rutas. Mi pregunta es cuál sería la probabilidad de que dos personas se encontraran si una (digamos, Matt) saliera de la casa al gimnasio, y otra (digamos, Tine) saliera del gimnasio a la casa. Esto es similar a un pregunta preguntó ayer dónde había una rejilla cuadrada.

Mi pensamiento aquí era que la probabilidad de que Matt y Tina se encontraran sería $\frac{C(13,8)}{2^{13}}$ pero eso no parece correcto dado que Matt y Tina pueden caminar por caminos diferentes aunque sólo se encuentren a 6,5 manzanas de su paseo. ¿Alguna idea sobre cómo deducir cuál sería la probabilidad en este caso?

Answer 1

La cuestión es que la elección de los posibles caminos no es $2^{13}$ ya que estamos limitados por los escalones verticales.

Supongamos que Matt y Tine recorren un camino de longitud $6$ . Entonces también necesitamos que estén en posición de cruce.

Para Matt, las opciones son:

• NNNNNE - $6$ formas
• NNNNEE - $15$ formas
• NNNEEE - $20$ formas
• NNEEEE - $15$ formas
• NEEEEE - $6$ formas
• EEEEEE - $1$ camino

Total: $64-1=63$ maneras. Lo mismo ocurre con Tine.

Esto resuelve el problema de los rectángulos $m\times n$ , donde $m+n$ es parejo, ya que a estas alturas se han encontrado.

Para $m+n$ impar, tenemos que después de $6.5$ piernas, tenemos el mismo número de posibilidades que después de $7$ piernas, que es $128-1-7=120$ .

La probabilidad es entonces $\dfrac{1287}{14400}\approx 0.0894$ .

Answer 2

Los puntos rojos muestran los únicos lugares en los que ambos pueden encontrarse:

y los números verdes el número de rutas desde Casa hasta ese punto.

Para cada punto de encuentro, se encuentra el número de rutas de Matt que pasan por ese punto, y el número de rutas de Tine que pasan por ese punto. Los números verdes muestran el número de rutas de Matt para llegar a ese punto; ten en cuenta que luego debes encontrar el número de total rutas a través de ese punto. Dividir cada una de ellas por el número total de rutas para Matt y para Tine. Esto da las probabilidades para cada uno. Se multiplican esas probabilidades para encontrar que se encuentran en cada uno de esos puntos, y luego se suman todas esas probabilidades.

El número total de rutas para Matt es: ${13 \choose 8} = 1287$ y lo mismo para Tine.

Así que la probabilidad de que se encuentren en el punto rojo de la parte inferior derecha es $P[Matt] \cdot P[Tine] = {6 \over 1287} \cdot {6 \over 1287} = {36 \over 1287^2}$ . Y lo mismo para los demás puntos.

Luego sólo hay que sumarlos para obtener la probabilidad total de que se encuentren en algún lugar.