¿Los polinomios$(1+z/n)^n$ convergen de forma compacta a$e^z$ en$\mathbb{C}$?

Question

La pregunta es

¿Los polinomios$p_n(x)=(1+z/n)^n$ convergen de forma compacta (o uniformemente en subconjuntos compactos) a$e^z$ en$\mathbb{C}$?

Pensé en expandir$$p_n(z)=\sum_{k=0}^n a_k^{(n)}z^k$ $ donde$$a_k^{(n)}=\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)$ $ e intentar mostrar que$\frac{1}{k!}-a_k^{(n)}$ disminuye lo suficientemente rápido en cualquier bola cerrada. Es decir, traté de mostrar$$\lim_{n\rightarrow\infty}\max_{z\in\overline{B_0(A)}}\left|\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{k!}-p_n(z)\right|=0$ $ para cualquier$A>0$%, pero tuve dificultades con este enfoque.

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Puedes usar los siguientes pasos.

1. Para$a, b \in \mathbb C$ y$k \in \mathbb N$, tiene$$\vert a^k -b^k \vert =\vert a-b \vert \vert a^{k-1}+b a^{k-2}+\dots+b^{k-1}\vert\le \vert a - b \vert k m^{k-1} \tag{1}$$ where $ m = \ max (\ vert a \ vert, \ vert b \ vert) $
2. Para$u \in \mathbb C$ tienes$$\left\vert e^u-(1+u) \right\vert \le \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{\vert u \vert^k}{k!} \le \vert u \vert^2 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\vert u \vert^k}{k!}=\vert u \vert^2 e^{\vert u \vert} \tag{2}$ $
3. Ahora tomando$a=e^u,b=1+u$, obtenemos$m=\max(\vert e^u \vert,\vert 1+u \vert) \le \max(e^{\vert u \vert},1+\vert u \vert) \le e^{\vert u \vert}$. Para$k \ge 1$ aplicar (1) y (2) sucesivamente, obtenemos$$\left\vert e^{ku} -(1+u)^k\right\vert \frac{\vert k u \vert^2 e^{\vert ku \vert}}{k} \tag{3}$ $
4. Finalmente para$z \in \mathbb{C}$ y denotando$u=\frac{z}{n}$ y$k=n$, obtenemos usando (3)$$\left\vert e^z -\left(1+\frac{z}{n}\right)^n \right\vert \le \frac{\vert z \vert^2 e^{\vert z \vert}}{n} \tag{4}$ $
5. Para$K \subset \mathbb C$ compact, uno puede encontrar$M > 0$ tal que$M \ge \sup\limits_{z \in K} \vert z \vert$ que implica$$\sup\limits_{ z \in K} \left\vert e^z -\left(1+\frac{z}{n}\right)^n \right\vert \le \frac{M^2 e^{M}}{n} \tag{5}$$ proving that $ (p_n)$ converges uniformly to $ e ^ ​​z$ on every compact subset of $ \ mathbb C $.

Answer 2

SUGERENCIA: no Es que duro desde un cierto punto de vista:

Tome $\epsilon > 0$. Considere la posibilidad de $N$ naturales, por lo que el $\sum_{k > N} \frac{A^k}{k!} < \epsilon/3$. Vamos ahora a$n_{\epsilon}$, de modo que $$\sum_{k=0}^N\frac{1}{k!}\izquierda |\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)-1\right|^k< \epsilon/3 $$ para $n > n_{\epsilon}$.

Ahora, para $n > n_{\epsilon}$ tenemos la estimación

\begin{eqnarray} |e^z - p_n(z)|\le \sum_{k=0}^N\frac{1}{k!}\left |\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)-1\right|A^k + 2 \sum_{k > N} \frac{A^k}{k!}< \epsilon \end{eqnarray} para todos los $z$, de modo que $|z| \le A$.

${\bf Added:}$ Del mismo modo se puede demostrar el siguiente:

Dada una secuencia de la serie de $( \sum_{k \ge 0} \phi_k^{(n)} (z))_n $, de modo que $\phi_k^{(n)}\to \phi_k$ uniformemente en compactos y en cada compacto de la serie $( \sum_{k \ge 0} |\phi_k^{(n)} (z)|))_n$ son todos termwise delimitada por una serie convergente, entonces la suma de la serie $( \sum_{k \ge 0} \phi_k^{(n)} (z))_n $ converge uniformemente en compactos de a $\sum_{k \ge 0} \phi_k (z)$.

Esto es más o menos un teorema de convergencia dominada.

Answer 3

He aquí una menos computacional manera de obtener el resultado.

Lema 1: Si $f_n: E \to \mathbb C $ son uniformemente acotadas y convergen uniformemente a $f$ $E,$ $e^{f_n} \to e^f$ uniformemente en $E.$ Prueba: Fácil.

Lema 2: Deje $\log $ denotar el principal valor del logaritmo. Entonces existe una constante $C$ tal que para $0<|u|< 1/2,$

$$\left|\frac{\log (1+u)}{u}-1\right| \le C|u|.$$

Prueba: Dentro de los valores absolutos de la izquierda tenemos una función que se extiende a ser analítico en $D(0,1)$ con valor de $0$ $0.$ El resultado de la siguiente manera fácilmente.

Así que vamos a $R>0.$ $0<|z|<R$ $n>2R,$ Lema 2 se muestra

$$|n\log(1+z/n) - z| = |z|,\,\left|\frac{\log(1+z/n)}{z/n}-1\right| \le R\cdot C(R/n) = CR^2/n.$$

Así que hemos convergencia uniforme de $n\log(1+z/n)$$z$$D(0,R),$, al menos, a lo largo de la secuencia de $n$'s mayor que $2R.$ Debido a que estas funciones son uniformemente acotadas en $D(0,R),$ Lema 1 se muestra

$$\tag 1 \exp (n\log(1+z/n)) \to e^z$$

de manera uniforme en $D(0,R).$ Desde el lado izquierdo de $(1)$ es igual a $[\exp (\log(1+z/n))]^n = p_n(z),$ estamos hecho.