Aproximadamente x+1 sin adición y logaritmos

Question

Estoy buscando una expresión $f(x)$ que involucra sólo constantes, $x$ la multiplicación, la exponenciación y la división de tal manera que para un intervalo lo más grande posible [1,a)], la función se aproxima mucho a $g(x)=x+1$ . O tal vez incluso una secuencia recursiva de aproximaciones cada vez más buenas $f_i(x)$ .

$f(x)$ no debería incluyen cualquier adición y logaritmos. Los operadores permitidos son: $$ x^{n}, nx, \frac {x}{n}$$ donde $n$ puede ser $x$ o $const$ . Se permite cualquier composición de estos operadores. Aquí hay algo que intenté ( gráfico ):

$$ f(x) = 1.8 (x^{ \frac {1}{2}}) (x^{ \frac {1}{2*3}})^{(x \frac {1}{2*3})} (x^{ \frac {1}{2*3*5}})^{{(x \frac {1}{2*3*5})}^{(x \frac {1}{2*3*5})}} $$

Pero continuar con este patrón no hace que $f(x)$ más cerca de $g(x)$ .

Answer 1

Según entiendo la pregunta, se le permite hacer lo siguiente:

1. Toma $f(x)^{g(x)}$ si $f$ y $g$ son funciones permitidas

2. Toma $f(x)g(x)$ si $f$ y $g$ son funciones permitidas

3. Toma $ \frac {f(x)}{g(x)}$ si $f$ y $g$ son funciones permitidas

(comenzando con las funciones permitidas de la base de las constantes y $f_0(x)=x$ ). Con esto, uno puede expresar

$$e^{f(x)}= \frac {(ex)^{f(x)}}{x^{f(x)}}.$$

Por lo tanto, podemos usar la técnica del rey W3 y aproximar

$$x+1= \exp\left ( \ln (x+1) \right ) \approx x \exp\left ( \sum_ {n=1}^{N} \frac {(-1)^{n+1}}{nx^n} \right )=x \prod_ {n=1}^N \exp\left ( \frac {(-1)^{n+1}}{nx^n} \right ).$$

Como esto es simplemente el producto de las funciones permitidas (como $ \exp (f(x))$ es una función permitida cuando $f(x)$ es), esto también está permitido.