El conjunto de todas las matrices nilpotentes es un subconjunto cerrado de $M(n,\mathbb R).$

Question

<blockquote> <p>Que $M(n,\mathbb R)$ ser dotado con $\|.\|_2.$ a continuación, mostrar que el conjunto de todas las matrices nilpotentes es un subconjunto cerrado de $M(n,\mathbb R).$</p> </blockquote> <p>He intentado usando el mapa continuo $A\mapsto A^n$ $M(n,\mathbb R).$ pero la Unión arbitraria de conjuntos cerrados no es necesariamente cerrada.</p> <p>¿Cómo debo pensar? No estoy pidiendo para que la solución completa pero algunas sugerencia para empezar.</p>

Answer 1

Si $A$ es nilpotente, entonces $A^k = 0$ $k \in \mathbb{N}$, por lo que divide a la % polinomio mínimo $p(x)$$A$$x^k$. Desde $\text{deg}(p(x)) \leq n$, se deduce que $p(x) = x^m$ $m \leq n$ y por lo tanto $A^m = 0$ $m\leq n$. Por lo tanto, $A^n = 0$.

Ahora en los comentarios de @Did, tomar $u^{-1}({0})$, donde $u(A) = A^n$.