Nuevo ángulo formado después de girar el tubo

Question

Estoy teniendo un problema (mantenimiento del hogar) y necesitaría averiguar un nuevo ángulo formado después de girar una tubería. Intentaré ser lo más descriptivo posible:

Este diagrama muestra la vista superior y la vista lateral, por lo que la tubería va tanto hacia abajo Y hacia el lado formando un ángulo de $35$ grado cuando se ve desde arriba.

Mi pregunta sería, si girara la tubería horizontal ESTACIONARIA $11$ grados, cuál sería el NUEVO ángulo formado desde arriba (es $35$ grados ahora, en qué se convertiría después de girar ese componente horizontal 11 grados sobre sí mismo, la posición sigue siendo la misma).

si es posible, me gustaría tener dos respuestas: el nuevo ángulo después de girar en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario

Muchas gracias

Answer 1

[Puede que tenga algunas cosas fuera por $90^\circ$ aquí o tienen $\sin$ y $\cos$ intercambiado, pero creo que entenderás la idea].

Si se gira el tubo estacionario a través de una $360^\circ$ Se obtendría esta especie de forma de embudo, donde el ángulo entre la tubería horizontal y el embudo es $180^\circ$ menos el ángulo por el que se ha doblado la tubería. Ese es el ángulo entre las partes verde y naranja aquí, e ilustran la posición actual de tu tubería. [Mark McClure hizo una gran animación de esto en su respuesta].

Por lo tanto, primero hay que medir el ángulo en el que se dobla el tubo (aproximadamente $20^\circ$ en esta imagen) y llamarlo $B$ .

Identifica los puntos de esta imagen con el origen en la curva, el positivo $x$ -eje que va a la izquierda, el $y$ -eje subiendo, y el $z$ -eje que va hacia ti.

Un círculo en el cono es entonces el conjunto de puntos $(x_0,x_0\sin \theta\tan B,x_0\cos \theta\tan B )$ , donde $\theta$ es el ángulo alrededor del cono, con $\theta=0$ hacia ti y $\theta$ aumentando en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se mira el embudo desde la izquierda.

Así, la parte doblada de la tubería se encuentra a lo largo del rayo con ecuaciones paramétricas $(x,x\sin \theta\tan B,x\cos \theta\tan B )$ para $x\ge0$ para algunos fijos $\theta$ .

Ahora, averigua $\theta$ para su pipa. Aquí, se trata de $-30^\circ$ .

Si tienes los ángulos correctos, el ángulo que ves en la vista superior debería coincidir con lo que es matemáticamente. Dado que una vista superior básicamente ignora el $y$ coordenada, la tangente del ángulo que parece formar el tubo visto desde arriba es la pendiente de la recta $z=x\cos \theta\tan B$ . Esa pendiente es $\cos \theta\tan B$ , por lo que el ángulo que se ve es $\arctan(\cos \theta\tan B)$ .

El ángulo de la vista lateral es el que se ve al ignorar el $z$ coordinar, por lo que es $\arctan(\sin \theta\tan B)$

Los ángulos que se buscan (el ángulo de la vista superior después de las rotaciones) son entonces

$$\arctan(\cos (\theta+11^\circ)\tan B)\mbox{ and }\arctan(\cos (\theta-11^\circ)\tan B)$$ .

Answer 2

Esto no es una respuesta pero es un poco largo para un comentario.

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No creo que haya suficiente información para responder a la pregunta. Según tengo entendido, usted ha declarado la aparentemente ángulo que forma un tubo giratorio cuando se mira desde una dirección determinada. Entonces preguntas por el ángulo aparente después de la rotación sobre un eje perpendicular a nuestra línea de visión. Pero eso depende de cuánto haya girado ya desde el punto en el que el ángulo aparente es máximo o (equivalentemente) en el que el eje y el tubo giratorio están en un plano perpendicular a nuestra línea de visión.

Para ilustrarlo, observe la siguiente figura. La rotación del eje horizontal se produce a un ritmo constante. Sin embargo, observe que la tasa de cambio del ángulo aparente parece ser más rápida cuando ese ángulo aparente está cerca de cero. Como resultado, el cambio del ángulo aparente después de una rotación sobre el eje de 11 grados depende de dónde se encuentre en la rotación.

Answer 3

SUGERENCIA:

$$ \tan \alpha = \tan \beta \cos \theta $$

donde $ \alpha ,\beta ,\theta $ son el ángulo proyectado, el ángulo del vértice real de un generador de conos y la rotación desde el plano central respectivamente.Utilizando la relación adecuadamente se pueden calcular todos los ángulos proyectados.