Cómo encontrar las no-notas cúbicas donde el $\min(f_k)>6$ en superficies con $\chi<0$ ?

Question

Henning una vez me dijo eso,

[De la característica de Euler del plano se deduce que la media grado de las caras de un grafo planar de 3 caras con $F$ caras es $6-12/F$ lo que significa que todo grafo planar 3-regular tiene al menos una cara de grado $5$ o inferior.

Traté de entender y ampliar esto y obtuve lo siguiente:

Dada una $k$ -grafo regular. Sumando los grados de las caras $f_n$ da el doble de aristas $E$ y esto es $k$ veces el número de vértices $V$ : $$ \sum f_n = 2E =kV \tag{1} $$ Además tenemos la fórmula de Euler que dice $$ V+F = E +\chi, $$ donde $\chi$ es La característica de Euler de la superficie en la que vive el gráfico. De nuevo insertamos $E=\frac k2V$ y conseguir: $$ F=\left( \frac k2 -1 \right)V+\chi\\ V=\frac{F-\chi}{\frac k2 -1}. \tag{2} $$ Dividiendo $(1)$ por $F$ e insertando $(2)$ da: $$ \frac{\sum f_n}{F}= \frac{k(F-\chi)}{(\frac k2 -1)F}=\frac {2k}{k -2} \left( 1-\frac{\chi}{F}\right) \tag{3} $$

ou

$$ \sum f_n=\frac {2k}{k -2} \big( F-\chi\big). \tag{3$ ^\N - La fiesta de la Navidad. $} $$

Enchufar $k=3$ y $\chi=2$ (la característica del plano), recuperamos la fórmula de Henning, pero cuando Por ejemplo $\chi=-2$ por lo que la superficie que dibujamos podría ser un doble toro , obtenemos que el grado medio sea:

$$ 6 \left( 1+\frac{2}{F}\right) $$

Cómo encontrar gráficos cúbicos donde el $\min(f_k)>6$ en superficies con $\chi<0$ ?

EDITAR El gráfico no debe ser un snark .

Answer 1

Para orientable superficies, he aquí un elemento representativo de una familia de grafos cúbicos no nórdicos en una $n$ -toro con $4n-2$ vértices, $6n-3$ bordes y un único $(12n-6)$ - de la cara.

Si es un problema que algunos pares de vértices tengan más de una arista entre ellos, eso puede arreglarse fácilmente con algunos reordenamientos locales (que pueden elegirse para preservar el ciclo hamiltoniano verde-azul y, por lo tanto, la no-oscilación).

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Para no orientable creo que lo más fácil es empezar apelando al teorema de clasificación e interpretar la superficie como una esfera con $k\ge 2$ con tapones en forma de cruz. Ahora bien, si se parte de un gráfico plano y se coloca una tapa cruzada a horcajadas sobre una de sus aristas (de modo que al seguir la arista de un extremo a otro se llega a la orientación opuesta), el efecto neto es fusionar las dos caras que la arista separaba.

Por lo tanto, se comienza con un planar gráfico cúbico no nórdico con $2k-2$ vértices y $3k-3$ bordes. Seleccione un árbol de expansión arbitrario (compuesto por $2k-3$ bordes), y coloque tapas cruzadas en el $k$ bordes no en el árbol de expansión. Esto fusionará todas las caras del gráfico original, y nos quedaremos con un gráfico con un único $(6k-6)$ - de la cara de un lado a otro.

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En cada uno de los casos anteriores, si quieres más caras, simplemente subdivide la única que ya tienes con nuevas aristas. La cara en sí, antes de pegar sus aristas para formar la superficie cerrada final, es simplemente un viejo $(12n-6)$ - o $(6k-6)$ -gon, para que pueda diseñar la subdivisión como un dibujo plano.

Answer 2

$\hskip2.5in$

Este género $2$ El mapa regular, mostrado a la derecha, tiene seis octogonal caras, de las cuales tres se encuentran en cada una de sus $16$ vértices. Tiene $24$ aristas, y una característica de Euler de $-2$ .

Como es bipartita hay un $3$ -...para que no sea un snark...