Mostrar límites diferentes en diferentes modo de convergencia casi por todas partes es igual a

Question

¿Supongamos que una secuencia de funciones continuas y acotadas $f_n$ converge uniformemente a $f_1$ y $f_n$ converge a $f_2$ $L^2$ sentido, a continuación, cómo mostrar $f_1= f_2$ a.e.?

He probado lo siguiente: que $A_\epsilon = {x:|f_1(x)-f2(x)|>\epsilon}$, entonces el $m(A\epsilon) \epsilon) + m(|f_n - f_2|>\epsilon)$. Que $n$ ir hasta el infinito, entonces la primera parte del lado derecho va a cero de convergencia uniforme, pero no puedo hacer nada para $L^2$-convergencia.

¿Alguien me puede mostrar cómo resolver esta cuestión? Gracias de antemano.

Answer 1

Desigualdad de Markov hace el trabajo: conseguimos que cada $\varepsilon>0$, %#% $ de #% por lo tanto, siguiendo las anotaciones en el OP, conseguimos %#% $ #% por lo tanto, $$\lambda{x,|f_n(x)-f_2(x)|>\delta}\leqslant \frac 1{\varepsilon^2}\lVert f_n-f2\rVert{L^2}^2,$ $ donde $$\lambda(A_{2\varepsilon}\cap [-N,N])\leqslant \lambda({x,|f_n(x)-f_1(x)|>\varepsilon}\cap [-N,N])+\frac 1{\varepsilon^2}\lVert f_n-f2\rVert{L^2}^2,$ es de cuando cuando es satisfecho $$\lambda(A{2\varepsilon}\cap [-N,N])\leqslant 2N\cdot \left[\sup{[-N,N]}|f_n-f_1|>\varepsilon\right]+\frac 1{\varepsilon^2}\lVert f_n-f2\rVert{L^2}^2,$ $[P]$ lo contrario.

Cuando $P$ y $0$ son fijos, el lado derecho va a $N$ $\varepsilon$ paso al infinito. Por lo tanto, $0$ % todo $n$y $\lambda(A_{2\varepsilon}\cap [-N,N])=0$, dando la conclusión deseada.