Anillo de números enteros modulo $n$ con una propiedad de los divisores de cero.

Question

Este es un seguimiento de Es $a+b$ una unidad del si $a,b,a-b$ son divisores de cero?

Deje $n$ ser un número natural tal que el anillo de $R:=\mathbb{Z}/(n \mathbb{Z})$ tiene la siguiente propiedad: $$a,b,a-b\in Z \implies a+b \in Z$$ donde $Z$ cero divisores de $\mathbb{Z}/(n \mathbb{Z})$.

Usuario @lhf hizo la observación de que $R$ parece tener esta propiedad exactamente al $n$ tiene menos de tres primos divisores. Estoy interesado si esto se puede hacer en una prueba.

Editar: Aquí es un resultado parcial si $\omega(n)=1$, por lo tanto $n=p^\alpha$ es una fuente primaria de energía: Si $a,b,a-b\in Z$ debemos tener: $p^{a_0} = \gcd(a,n)>1$,$p^{b_0} = \gcd(b,n)>1$,$p^{c_0} = \gcd(a-b,n)>1$ para $a_0,b_0,c_0\ge 1$. De esto se sigue que: $$a = x p^{a_0}, b = y p^{b_0}, a-b=zp^{c_0}$$ y obtenemos: $$a+b = (a-b)+2b = zp^{c_0} + 2yp^{b_0} = p^{d_0}(zp^{c_0-d_0}+2yp^{b_0-d_0})$$ con $d_0 = \min(c_0,b_0) \ge 1$ desde $b_0,c_0 \ge 1$. Por lo tanto $\gcd(a+b,n)>1$$a+b \in Z$.

Answer 1

Teorema. Existen $a,b\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ que $a,b,a-b$ son divisores de cero, sino $a+b$ no si y sólo si $n$ tiene al menos $3$ distintos factores primos.

Prueba. Primero asuma $n$ sólo ha $1$ o $2$ factores primos. Si $a,b,a-b$ son cada uno de los divisores de cero, entonces cada una de ellas es divisible por uno de estos uno o dos números primos, por lo que un par de ellos comparten un divisor primo por el principio del palomar. Si $a,b$ compartir, a continuación, $a+b$ es un divisor de cero, pero si $a,a-b$ o $b,a-b$ compartir, a continuación, también lo hace el tercer puesto $b=a-(a-b)$$a=(a-b)+b$, por lo que la misma conclusión.

Ahora suponga $n$ tiene al menos $3$ distintos factores primos. Entonces podemos escribir $n=ABC$ donde $A,B,C$ son parejas coprime y $C$ es impar. Desde el Teorema del Resto Chino dice

$$ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong (\mathbb{Z}/A\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/B\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/C\mathbb{Z}), $$

por lo que podemos trabajar en este anillo en su lugar. A continuación, establezca $a=(0,1,-1)$$b=(1,0,-1)$, los cuales son tanto nonunits, ya que tienen una coordenada $0$,, a continuación, compruebe $a-b=(-1,1,0)$ es también un nonunit por la misma razón, pero $a+b=(1,1,-2)$ es una unidad, ya que es una unidad en cada coordenada.

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Tengo este ejemplo a partir de la observación en el caso de $(A,B,C)=(3,4,5)$. El primer ejemplo que encontré fueron los números de $a=9$$b=4$,$a-b=5$$a+b=13$. Tomé los dos de estos valores y se encontró que correspondían a $(0,1,-1)$ $(1,0,-1)$ mod $3,4,5$ e di cuenta de que siempre iba a trabajar como siempre y como $A,B,C$ eran parejas coprime y $C$ era extraño.