Probar que la secuencia es cuadrado perfecto

Question

Pregunta

Dada una secuencia $a_0 = a1 = 97\sqrt{2}$ y $$\forall n \space \space a{n+1}= \frac{1}{\sqrt{2}}[an a{n-1} + \sqrt{(an^2-2)(a{n-1}^2-2)}]$ $ prueba $$2+\sqrt{2+a_n\sqrt{2}}$ $ es un cuadrado perfecto

Mi enfoque

Use inducción matemática para demostrar que (el caso base es trivial, este es el paso inductivo)

$$2+\sqrt{2+ana{n-1}+\sqrt{(an^2-2)(a{n-1}^2-2)}}$ $ Sin embargo, esto no tiene verdadero para todos los $a_n$, parece ser una invariante desde el valor inicial que es cuadrado perfecto. Se agradecería cualquier insinuación.

Answer 1

Esto no es una respuesta, pero quiero compartir algunas de mis conclusiones y no puedo hacerlo en un comentario. Que $$x_n=2+\sqrt{2+a_n\sqrt{2}}$$ for $n=0,1,...$. Now it is easy to prove that indeed $x_0,x_1,x_2,x_3$ are indeed perfect squares. But there is a precise relationship between $x_n$ for $n > 2$ and it is $$\sqrt{xn}=\sqrt{x{n-1}x{n-2}}-\sqrt{x{n-3}}$$ Now the base case for $k=3$ is trivial to verify. If by induction we suppose that then for $k=4,5,,...n$ we have $$\sqrt{xk}=\sqrt{x{k-1}x{k-2}}-\sqrt{x{k-3}}$$ and also $$xk \text{ is a perfect square}$$ then it remains to show that $$\sqrt{x{n+1}}=\sqrt{x{n}x{n-1}}-\sqrt{x{n-2}}$$ which implies than that $x{n+1}$ es un cuadrado perfecto y por inducción ya terminamos. Sin embargo el álgebra es un poco desordenada, pero creo que podría ser una buena línea de ataque.