¿Cada portada de un conjunto tiene una subcubierta mínima?

Question

Me imagino que este problema es común, sin embargo, no tengo ninguna fuente a la que referirme. No sé su nombre habitual, y tengo problemas para encontrar una respuesta.

Estoy tomando la definición: una portada$C$ de un conjunto$S$ es un conjunto tal que$\cup C = S$

Quiero saber si cada portada tiene una subcubierta mínima.

Gracias.

Answer 1

¿Qué hay de$S=\Bbb R$ y la portada compuesta de los intervalos$(-n,n)$? Cualquier subcubierta de esta portada sigue siendo una subcubierta si omite uno de sus elementos.

Answer 2

Considere la posibilidad de $S=\aleph_\omega $$C=\{\aleph_n:n <\omega\} $. Cualquier subconjunto infinito de $C $ es una cubierta, y por lo tanto no hay un mínimo de cubierta.

(Mientras escribía esto, otra respuesta fue publicada. Tenga en cuenta que aunque los espacios de $S $ en ambos casos son diferentes, la idea es la misma: $S $ está cubierto por una contables de la creciente familia de conjuntos, de manera que cualquier infinita subfamilia es de nuevo una cubierta).

Para un ejemplo diferente, cualquier límite ordinal $\alpha $ (de cualquier cofinality) funciona como $S $, $C $ cualquier cofinal subconjunto. Un subconjunto de a $C $ es una cubierta si y sólo si ella misma es cofinal. Por lo tanto, no hay un mínimo de subcover, y cualquier subfamilia de $C $ que trabaja tiene un tamaño de al menos $\operatorname{cf}(\alpha) $. Más general aún, se puede tomar como $S $ cualquier linealmente conjunto ordenado sin un máximo, elegir un cofinal secuencia $a_\tau $ de los miembros de $S $, y deje $C $ consta de los intervalos de $(-\infty,a_\tau) $. En el ejemplo de la otra respuesta es esencialmente uno, aprovechando que tanto el coinitiality y cofinality de $\mathbb R $ como un conjunto ordenado de coincidir. Sería interesante ver esencialmente diferentes de la fuente de ejemplos.