Encuentra todas las funciones$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen una ecuación funcional

Question

Encuentra todas las funciones$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que satisface:$f\left ( x \right )f\left ( y \right )+ f\left ( xy \right )+ f\left ( x \right )+f\left ( y \right )= f\left ( x+y \right )+ 2\,xy$

Intenté la forma estándar:$x=0, x=y, x=1,...$ pero sin éxito. Pasé bastante tiempo intentando resolverlo pero no tuve éxito.

Intenté reducirlo a las ecuaciones de 1-4 de Cauchy pero no tuve éxito. En el corse, encontré trabajos interesantes de Aczel, Erdos e incluso Putnum, pero no están directamente relacionados, supongo.

¿Alguna idea? Estoy interesado en este problema, pero no pude resolverlo.

Answer 1

"Rápida" solución: vamos a $g(x)=x-f(x)$. A continuación, en términos de $g$, la ecuación funcional puede reordenarse $$g(x+y)+g(x)g(y)=(1+x)g(y)+(1+y)g(x)+g(xy).$$ By my answer to this question, the solutions to this functional equation are $g(x)=0$, $g(x)=3x$, and $g(x)=x(x+1)$. We conclude that the solutions for $f$ are $f(x)=x$, $f(x)=-2x$, and $f(x)=-x^2$.

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Alternativamente, he aquí una solución directa que yo era lo suficientemente tonto como para trabajar a fondo antes de darse cuenta de que esta ecuación se reduce a una he resuelto antes. :)

Es fácil comprobar que $f(x)=x$, $f(x)=-2x$, y $f(x)=-x^2$ son soluciones. Me dicen que son las únicas soluciones.

Primero, la creación de $y=0$ da $f(0)(f(x)+2)=0$ todos los $x$, lo $f(x)=-2$ todos los $x$ o $f(0)=0$. Se puede comprobar con facilidad que $f(x)=-2$ no funciona, así que debemos tener $f(0)=0$.

Ahora vamos a escribir $a=f(1)$. Establecimiento $x=y=2$ da $f(2)^2+2f(2)=8$, lo $f(2)=2$ o $f(2)=-4$. Establecimiento $x=y=1$ da $a^2+3a=f(2)+2$. Si $f(2)=2$ recibir $a=1$ o $a=-4$. Si $f(2)=-4$ recibir $a=-1$ o $a=-2$.

Establecimiento $y=1$ tenemos $(a+2)f(x)+a=f(x+1)+2x$, por lo que $$f(x+1)=(a+2)f(x)-2x+a\tag{*}$$ for all $x$. Note that this recurrence can be used to find $f(x)$ for all integers $x$ from $$. We now consider the possible values of$$ uno por uno.

Si $a=-2$, $(*)$ inmediatamente se da $f(x+1)=-2(x+1)$ $f(x)=-2x$ todos los $x$.

Si $a=-4$, luego tenemos a $f(2)=2$$f(-1)=-1$$f(-2)=1/2$$(*)$. Pero entonces el funcional de la ecuación de falla con $x=2$$y=-1$. Así que en este caso es imposible.

Si $a=-1$, nos encontramos con que $f(x)=-x^2$ para todos los enteros $x$. La recurrencia $(*)$ tiene la forma $$f(x+1)=f(x)-2x-1.$$ Now setting $y=-1$ in the original equation gives $f(-x)-1=f(x-1)-2x$. Replacing $x$ with its negative, we find $$f(-(x+1))=f(x)-2x-1.$$ Comparing the two centered equations above, we see $f(x+1)=f(-(x+1))$ so $f$ is an even function. Now setting $x=y$ and $x=-y$ in the original equation give $$f(x)^2+f(x^2)+2f(x)=f(2x)+2x^2$$ and $$f(x)^2+f(x^2)+2f(x)=-2x^2$$ respectively. Comparing these equations, we get $f(2x)=-4x^2$ and so $f(x)=-x^2$ for all $x$.

Por último, supongamos $a=1$. Luego tenemos la $f(x)=x$ para todos los enteros $x$ y la recurrencia $(*)$ es $$f(x+1)=3f(x)-2x+1.$$ Using the recurrence backwards we have $f(x-1)=\frac{f(x)+2x-3}{3}$ and so we get $$f(-x)=\frac{f(x)-4x}{3}.$$ Replacing $x$ with $-x$ we get $$f(x)=\frac{f(-x)+4x}{3}=\frac{\frac{f(x)-4x}{3}+4x}{3}=\frac{f(x)}{9}+\frac{8x}{9}.$$ Solving for $f(x)$ we conclude that $f(x)=x$ for all $x$.