Son incontables los subconjuntos densos de $ \mathbb {R}$ con la misma cardinalidad homeomórfica?

Question

Sé que si $A,B \subseteq\mathbb {R}$ son dos densos subconjuntos contables de reales son homeomórficos, de hecho existe un homeomorfismo $f: \mathbb {R} \to\mathbb {R}$ de tal manera que $f(A)=B$ . Me preguntaba qué sucede con las cardenales diferentes de $ \aleph_0 $ es decir, si tengo dos conjuntos densos $A,B \subseteq\mathbb {R}$ de la misma cardinalidad $ \kappa $ entonces es cierto que existe un homeomorfismo $f: \mathbb {R} \to\mathbb {R}$ de tal manera que $f(A)=B$ ?

Para evitar trivialidades, $ \kappa $ debe ser infinito porque los conjuntos son densos; y claramente una condición necesaria es que se mantenga $ \kappa < \mathfrak {c}$ porque de lo contrario $A= \mathbb {R} \setminus\ {0\},B= \mathbb {R} \setminus\mathbb {Q}$ forman un cunterio-ejemplo.

Entonces, si se asume la hipótesis del continuo, ya sabemos la respuesta; pero sin ella la pregunta es interesante y no sé la respuesta.

Answer 1

Esta es una pregunta muy interesante y el tema de la investigación actual en la teoría de conjuntos.

Sin embargo, hay algunas advertencias.

Digamos que un conjunto de reales es $ \aleph_1 $ -densa si y sólo si cumple cada intervalo en exactamente $ \aleph_1 $ - muchos puntos. Es fácil ver que tales conjuntos existen, tienen tamaño $ \aleph_1 $ y, de hecho, si $A$ es $ \aleph_1 $ -densa, entonces entre dos puntos cualesquiera de $A$ hay precisamente $ \aleph_1 $ -muchos otros puntos de $A$ . Ahora, si $A$ es $ \aleph_1 $ -denso en $(- \infty ,0)$ , $B$ es contablemente denso en $[0,1]$ , $C$ es $ \aleph_1 $ -denso en $(1, \infty )$ y $D$ es $ \aleph_1 $ -denso en $ \mathbb R$ Entonces $|A \cup B \cup C|=|D|= \aleph_1 $ pero no son homeomórficos.

Esto sugiere que la generalización correcta no es exactamente lo que sugiere, pero en lugar de preguntar sobre conjuntos densos de tamaño $ \kappa $ deberíamos preguntar sobre $ \kappa $ -conjuntos densos (la obvia generalización de la noción de $ \aleph_1 $ -denso del párrafo anterior).

Shelah probó a principios de los 80 que si $2^{ \aleph_0 }<2^{ \aleph_1 }$ entonces hay una familia de $2^{ \aleph_1 }$ mutuamente incomparable $ \aleph_1 $ -densos conjuntos (lo que significa que ninguno de ellos se incrusta de forma que se mantenga el orden en ninguno de los otros). Dado que la suposición es consistente con el fracaso de CH, esto muestra que es consistente con los axiomas estándar de la teoría de conjuntos que la propiedad sobre la que se pregunta falla mal. El resultado puede ser reforzado para asegurar que existe tal familia de mutuamente incompatibles $ \aleph_1 $ -sistemas densos, donde la incompatibilidad significa que para ningún par de órdenes en la familia no hay un innumerable conjunto ordenado que se integre en ambos.

Por otra parte, en 1973 Baumgartner demostró que es consistente que todos $ \aleph_1 $ -los conjuntos densos de reales son ordenados de forma isomórfica. Esto se reforzó más tarde para mostrar la coherencia de esta afirmación con el axioma de Martin (y con el axioma de Martin y $2^{ \aleph_0 }> \aleph_2 $ ) e incluso con el axioma de fuerza adecuado.

La versión en la pregunta parece más fuerte: pedimos no sólo que los conjuntos sean isomórficos sino que de hecho hay un automorfismo de orden de $ \mathbb R$ que sea testigo de esto. En realidad, este fortalecimiento se deriva de la versión aparentemente más débil porque (se puede comprobar fácilmente que) cualquier isomorfismo de preservación del orden entre conjuntos densos de reinos se extiende (de manera única) a un orden-automorfismo (necesariamente, un auto-homorfismo) de $ \mathbb R$ . Gracias a Ashutosh Kumar por enderezarme.

Lo anterior se refiere al primer caso de su pregunta, $ \kappa = \aleph_1 $ . Resulta que esto es realmente todo lo que sabemos hasta ahora. Hay un trabajo activo en el caso $ \kappa = \aleph_2 $ (de nuevo, en la versión que pregunta si es consistente que dos $ \aleph_2 $ -(Los conjuntos densos de reales son ordenados de forma isomórfica). Moore y Todorcevic tienen un trabajo reciente sobre el tema, e Itay Neeman ha anunciado (tentativamente) su consistencia, usando su técnica de forzar con modelos de varios tamaños como condiciones laterales, pero hasta donde yo sé no hay ningún papel todavía.