Encontrar el máximo área de un triángulo rectángulo con un perímetro constante P.

Question

He estado aprendiendo cálculo de un tutor y yo hemos estado tratando de resolver un problema que él me dio. El problema es encontrar el máximo de área de un triángulo rectángulo con un perímetro constante $P$. Para empezar a resolver este problema que me escribió las diferentes ecuaciones para el área y el perímetro de un triángulo rectángulo.

$A=\frac{a*b}{2}$ para el área y $P= a+b+h$ para el perímetro.

Me decidí a encontrar primero un lado de longitud sustituyendo $\sqrt{a^2+b^2}$ $h$ y luego resolver para $a$ en el perímetro de la ecuación. Aquí están los pasos que he tomado... $$P=a+b+\sqrt {a^2+b^2}$$

$$(P-a-b)^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2$$

$$P^2+2ab-2aP-2bP=0$$

$$2a(b-P)=2bP-P^2$$

$$a=(\frac{1}2)(\frac{2bP-P^2}{b-P})$$

Ahora que tengo la ecuación de $a$, no estoy seguro acerca de cómo proceder. Sé que yo también podría resolver por el lado de longitud $b$ y poner los dos laterales de longitud y ecuaciones para $a$ $b$ en el área de la ecuación y obtener ...

$$A=\frac{(\frac{1}{2})(\frac{2aP-P^2}{a-P})(\frac{1}{2})(\frac{2bP-P^2}{b-P})}{2}$$

o me podría sustituir b en la ecuación y obtener...

$$A=\frac{a*(\frac{1}{2})(\frac{2bP-P^2}{b-P})}{2}$$

También sé que una vez que tengo una ecuación para el área que necesita para encontrar su derivada y el conjunto es igual a cero y resolver para $P$. De lo que estoy seguro acerca de es que el área de la ecuación necesito y cómo encontrar su derivada. Mi tutor me dijo que tengo que usar tanto la regla de la cadena y la regla del producto con el fin de encontrar la derivada. Puedo usar tanto la regla de la cadena y la regla del producto por separado, pero no estoy seguro de cómo utilizar en cualquier ecuación.

Answer 1

Llegó a una expresión $a = f(b,P)$. Tenga en cuenta que por hipótesis el perímetro $P$ es constante, lo que en realidad ha $a$ como una función de la $b$. Ahora, el área puede ser escrito $A = a\cdot b/2 = b \cdot f(b)/2$ que es una función de $b$. Para terminar debes estudiar las variaciones de esta función y se encuentra que el punto máximo es probablemente el caso en que $a=b$.

---

En el caso de un triángulo rectángulo, hay otra manera de enfocar el problema, sin necesidad de utilizar el cálculo. Tenga en cuenta que si denotamos por a $r$ el radio de la circunferencia inscrita, a continuación,$A = r\cdot P/2$. Así que con el fin de maximizar el área de maximizar el radio de la circunferencia inscrita. Ahora, de nuevo, porque el triángulo es rectángulo, la expresión de esta radio es muy particular y es igual a $r = P/2-h$ (echa un vistazo a la foto de aquí; he denotado por $h$ la hipotenusa). Por lo tanto, la maximización de la $r$ significa minimizar $h$.

Por lo que el problema se traduce a: minimizar $h=\sqrt{a^2+b^2}$$a+b+h = P$. Tenemos $a+b \leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=h\sqrt{2}$. Esto demuestra que $P \leq h(\sqrt{2}+1)$$h \geq P/(\sqrt{2}+1)$. Por lo tanto $h$ es mínima cuando se tiene la igualdad en $a+b \leq \sqrt{2(a^2+b^2)}$, lo que significa que $a=b$.

Answer 2

Ha $$A=\frac{ab}{2}$$ y se han encontrado que $$a=\frac12\left(\frac{2bP-P^2}{b-P}\right).$$

Puede utilizar la segunda ecuación de sustituir a las $a$ en la primera ecuación:

$$A=\frac{\frac12\left(\frac{2bP-P^2}{b-P}\right)b}{2} = \frac14\left(\frac{2bP-P^2}{b-P}\right)b.$$

Ahora se puede expresar el área de $A$ como una función de una sola variable, $b$. Maximizar en todos los valores de $b$.

---

Usted podría, por supuesto, realizar simétrica sustituciones, tanto por $a$ $b$ como estaba considerando, pero la mejor solución es la estrategia a seguir aquí es para tratar de reducir el número de incógnitas en su expresión para el área; así que después de haber librado de $a$ haciendo una sustitución, no es productivo para re-introducir a través de otra sustitución, incluso si eso las cosas serían más "imparcial". (De hecho, "imparcial" es exactamente lo que usted está tratando de alejarse de: desea eliminar una variable y dejar la otra!)

Answer 3

Primero de todo, usted no quiere expresar $A$ como una función de $a$$b$. Desde $P$ es constante, es necesario encontrar una relación entre el $a$ $b$ (lo que se encuentra es la correcta), a continuación, vuelva a $A$. Luego de expresar $A$ como una función que sólo depende de cualquiera de las $a$ o $b$. Por ejemplo: $$A = \frac{1}{4}\left(\frac{(2bP-P^2)b}{b-P}\right)$$ Tomando la derivada con respecto al $b$ para obtener: $$ \frac{\partial A}{\partial b} = \frac{P(P^2 - 4bP + 2b^2)}{4(b - P)^2}$$ Finalmente equiparan con 0 a obtener: $$ P^2 - 4bP + 2b^2 = 0 $$ Resolver para $b$ con la fórmula cuadrática. Tenga cuidado con algunas de las condiciones en el valor de $b$.

Answer 4

Supongo que el $h=c$ y obtener $$a=\frac{1}{2}\frac{2Pb-P^2}{b-P}$ $ y nuestra área está dada por $$\frac{ab}{2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{2Pb^2-bP^2}{b-P}$ $ diffferentiate esto con respecto a los $b$ obtenemos $$f'(b)=\frac{1}{4}\frac{P(P^2-4Pb+2b^2)}{(P-b)^2}$ $