¿Converge la serie $\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{4}\ln 3+\frac{1}{8}\ln 4+\frac{1}{16}\ln 5+\cdots$?

Question

Me parece que, por ensayo y error, que esta serie converge a $1$. ¿Es esto cierto? ¿Cómo pruebo lo de cualquier manera?

Answer 1

Tenga en cuenta $$ \sum{k=2}^\infty\frac{\ln(k+1)} {2 ^ k} \leq \sum{k=2}^\infty\frac{k}{2^k}=3/2 $$ donde la igualdad final es el juego de la serie geométrica generalmente. Así la serie converge, desde omitir finito (aquí 1) muchos términos no tiene ningún efecto sobre la convergencia.

Answer 2

Es obviamente convergente pero no converge a $1$. Frullani integral tenemos

$$S=\sum{n\geq 1}\frac{\log(n+1)}{2^n}=\int{0}^{+\infty}\sum{n\geq 1}\frac{e^{-x}-e^{-(n+1)x}}{2^n}\cdot\frac{dx}{x}=\int{0}^{+\infty}\frac{2(1-e^{-x})}{(2e^x-1)x}\,dx$ $ en la otra mano $$ 2S = \sum{n\geq 1}\frac{\log(n+1)}{2^{n-1}}=\log(2)+\sum{n\geq 1}\frac{\log(n+2)}{2^n} $ $ $$ S = \log(2)+\sum{n\geq 1}\frac{1}{2^n}\log\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$ $ $$2S=\log(6)+\sum{n\geq 1}\frac{1}{2^n}\log\left(1+\frac{1}{n+2}\right) $ $ $$ S = \log(3)+\sum{n\geq 1}\frac{1}{2^n}\log\left(1-\frac{1}{(n+2)^2}\right)$ $ $$\begin{eqnarray*} S &\geq& \log(3)+9\sum{n\geq 1}\frac{\log(8)-\log(9)}{2^n (n+2)^2}\&=&36\log^2(2)\log(3)-54\log^3(2)+\left(9\pi^2-\frac{243}{4}\right)\log(2)+\left(\frac{83}{2}-6\pi^2\right)\log 3\ &> & 1.0149.\end{eqnarray*}$ $

Answer 3

Puede reescribir como

$$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\log n}{2^{n-1}}$$

que converge claramente por ejemplo, para la comparación de la relación con el $\sum\frac{1}{n^2}$.