En la zeta suma $\sum_{n=1}^\infty[\zeta(5n)-1]$ y otros

Question

Para p = 2, tenemos,

$\begin{align}&\sum_{n=1}^\infty[\zeta(pn)-1] = \frac{3}{4}\end{align}$

Parece que hay una forma general de impar p. Por ejemplo, para p = 5, definen $z_5 = e^{\pi i/5}$. A continuación,

$\begin{align} &5 \sum_{n=1}^\infty[\zeta(5n)-1] = 6+\gamma+z_5^{-1}\psi(z_5^{-1})+z_5\psi(z_5)+z_5^{-3}\psi(z_5^{-3})+z_5^{3}\psi(z_5^{3}) = 0.18976\dots \end{align}$

con la de Euler-Mascheroni constante $\gamma$ y la función digamma $\psi(z)$.

1. Alguien sabe cómo demostrar/refutar esto?
2. También, ¿cómo nos dividimos $\psi(e^{\pi i/p})$ en sus partes real e imaginaria, así como para expresar el anterior puramente en términos reales?

Más detalles en mi blog.

Answer 1

$$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty\left[\zeta(pn)-1\right] & = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^{pn}} \\ & = \sum_{k=2}^\infty \sum_{n=1}^\infty (k^{-p})^n \\ & = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^p-1} \end{align}$$ Deje $\omega_p = e^{2\pi i/p} = z_p^2$, entonces podemos descomponer $1/(k^p-1)$ en fracciones parciales $$\frac{1}{k^p-1} = \frac{1}{p}\sum_{j=0}^{p-1} \frac{\omega_p^j}{k-\omega_p^j} = \frac{1}{p}\sum_{j=0}^{p-1} \omega_p^j \left[\frac{1}{k-\omega_p^j}-\frac{1}{k}\right]$$ donde somos capaces de añadir el término en la última igualdad debido a que $\sum_{j=0}^{p-1}\omega_p^j = 0$. Así $$p\sum_{n=1}^\infty\left[\zeta(pn)-1\right] = \sum_{j=0}^{p-1}\omega_p^j\sum_{k=2}^{\infty}\left[\frac{1}{k-\omega_p^j}-\frac{1}{k}\right]$$ El uso de las identidades $$\psi(1+z) = -\gamma\sum_{k=1}^\infty\left[\frac{1}{k+z}-\frac{1}{k}\right] = -\gamma+1-\frac{1}{1+z}-\sum_{k=2}^\infty\left[\frac{1}{k+z}-\frac{1}{k}\right]\\ \psi(1+z) = \psi(z)+\frac{1}{z}$$ para $z$ no es un entero negativo, y $$\sum_{k=2}^\infty\left[\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right]=1$$ por telescópica, por lo que finalmente $$\begin{align} p\sum_{n=1}^\infty\left[\zeta(pn)-1\right] & = 1+\sum_{j=1}^{p-1}\omega_p^j\left[1-\gamma-\frac{1}{1-\omega_p^j}-\psi(1-\omega_p^j)\right] \\ & = \gamma-\sum_{j=1}^{p-1}\omega_p^j\psi(2-\omega_p^j) \end{align}$$ Hasta ahora esto se aplica para todos los $p>1$. Sus identidades se siga considerando que al $p$ es extraño $\omega_p^j = -z_p^{2j+p}$, por lo que $$\begin{align} p\sum_{n=1}^\infty\left[\zeta(pn)-1\right] & = \gamma+\sum_{j=1}^{p-1}z_p^{2j+p}\psi(2+z_p^{2j+p})\\ & = \gamma+\sum_{j=1}^{p-1}z_p^{2j+p}\left[\frac{1}{1+z_p^{2j+p}}+\frac{1}{z_p^{2j+p}}+\psi(z_p^{2j+p})\right] \\ & = \gamma+p-1+S_p+\sum_{j=1}^{p-1}z_p^{2j+p}\psi(z_p^{2j+p}) \end{align}$$ donde $$\begin{align} S_p & = \sum_{j=1}^{p-1}\frac{z_p^{2j+p}}{1+z_p^{2j+p}} \\ & = \sum_{j=1}^{(p-1)/2}\left(\frac{z_p^{2j-1}}{1+z_p^{2j-1}}+\frac{z_p^{1-2j}}{1+z_p^{1-2j}}\right) \\ & = \sum_{j=1}^{(p-1)/2}\frac{2+z_p^{2j-1}+z_p^{1-2j}}{2+z_p^{2j-1}+z_p^{1-2j}} \\ & = \frac{p-1}{2} \end{align}$$ que establece su forma general.

No tengo una respuesta para la segunda pregunta en este momento.