¿Por qué no puedes dividir por 0 en una Curva de Edwards?

Question

La ecuación de una curva de Edwards es$x^2 + y^2 = 1 + d x^2 y^2 \,$

La fórmula de adición es$(x_1,y_1) + (x_2,y_2) = \left( \frac{x_1 y_2 + x_2 y_1}{1 + dx_1 x_2 y_1 y_2}, \frac{y_1 y_2 - x_1 x_2}{1 - dx_1 x_2 y_1 y_2} \right) \,$

¿Cuál es la explicación intuitiva de que$dx_1 x_2 y_1 y_2$ no puede ser igual a ± 1 cuando d no es cuadrado? Porque no veo por qué no puedes tener$x_1 x_2 y_1 y_2 = ± \frac{1}{d}$

Answer 1

No estoy del todo familiarizado con esta representación de una curva elíptica, pero creo que al homogeneizar, a la ecuación de $x^2z^2+y^2z^2=z^4+dx^2y^2$, las cosas pueden ser un poco más claro. Los puntos de $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ sobre la línea en el infinito están en singular, a mí me parece, y aun antes de escribir la adición de la regla projectively, yo voy a apostar que la suma de cualesquiera dos nonsingular puntos volverá a ser nonsingular. Pero entonces yo no lo he comprobado.

EDIT: Después de mirar más de cerca, me doy cuenta de que la situación es bastante complicada que requiere una cuidadosa descripción. Para tipográficos y motivos de estética, voy a cambiar la descripción de algo. La condición de que $d$ ser un rectangulares significa que los puntos en el infinito no $k$-racional, donde $k$ es el campo constante (carácter $\ne2$ necesariamente). Esto tiene sentido, aritméticamente, sino geométricamente no. Así que, en mi descripción de la curva, voy a usar la ecuación $$x^2+y^2=1+D^2x^2y^2$$ instead. It makes all the formulas simpler. I should say that I have the real picture in mind, with $D>1$, y así es como se ve:

Comience con una curva con forma de U, abierto hacia arriba, centrada en lo positivo $y$-eje, con su vértice (punto más bajo) a $(0,1)$, y con asíntotas $x=\pm1/D$. A continuación, toma esto, y gírelo $\pi/2$ repetidamente, hasta que cuatro de estos, que se abren en todas las cuatro direcciones. Este es tu cuarto grado de la curva.

Para esta curva, quiero tomar un diferente, pero isomorfo ley de combinación: \begin{align} (x,y)+(x',y')&=\left(\frac{xx'-yy'}{1-D^2xx'yy'},\frac{xy'+x'y}{1+D^2xx'yy'}\right)\\ \Bbb O&=(1,0)\\ -(x,y)&=(x,-y)\,, \end{align} de modo que el punto neutro $\Bbb O$ es el vértice de la curva con forma de U que se encuentra a caballo entre el positivo de la $x$-eje. He hecho este cambio sólo porque su ley original que tenía la condición sine además de la fórmula en el numerador de la $x$-coordinar, y la negativa de la fórmula del coseno en la $y$-coordinar, y eso me molestaba. Podemos llamar a los otros tres vértices $\Bbb P_{\pi/2}$, $\Bbb P_\pi$, y $\Bbb P_{3\pi/2}$.

Ahora, cuando nos fijamos en la ecuación de la curva, se ve que su más alto grado de la forma es sólo $x^2y^2$, y este le dice a usted cómo la curva cruza la línea en el infinito: en$(1,0,0)$$(0,1,0)$. Pero los exponentes decirles que estos puntos son de dos tipos, las intersecciones con esa línea. De hecho, son las intersecciones con los cuatro asíntotas que he mencionado anteriormente.

Muy crudamente, podemos desingularize de nuestra curva mediante la designación de cuatro puntos en el infinito $\Bbb I^\rightarrow_+$, $\Bbb I^\rightarrow_-$, $\Bbb I^\uparrow_+$, y $\Bbb I^\uparrow_-$. El primero de estos, $\Bbb I^\rightarrow_+$, puede ser pensado como $(\infty,1/D)$ o tal vez el límite de$(t,1/D)$$t\to\infty$, aunque estos puntos no están en la curva. En forma similar, $\Bbb I^\rightarrow_-$$(\infty,-1/D)$, y se puede adivinar los demás. Vamos a ver cómo funciona todo esto por ver lo que la suma de $\Bbb I^\rightarrow_++\Bbb I^\rightarrow_+$ va a llegar a ser. La fórmula da $$ \left(\frac{t^2-1/D^2}{1-D^2t^2/D^2},\frac{2t/D}{1+D^2t^2/D^2}\right) \longrightarrow (-1,0)=\Bbb P_\pi\,. $$

Usted comprobar fácilmente, utilizando las fórmulas, que $[2]\bigl(\Bbb P_\pi\bigr)=\Bbb O$, lo que muestra que $\Bbb I^\rightarrow_+$ es un cuatro-punto de división en nuestra curva. Además, también se puede ver que $[2]\bigl(\Bbb P_{\pi/2}\bigr)=\Bbb P_\pi$.

Sin trabajo (!), hemos encontrado ocho puntos racionales en nuestra curva: todos los puntos de división, y ya hay demasiados $4$-puntos de división de un grupo cíclico, se ve que la torsión es, al menos, $C_2\oplus C_4$ donde $C_n$ significa cíclico de orden $n$.

Ahora, finalmente, para responder a su pregunta acerca de los infinitos, está claro. En cualquier momento de su incorporación fórmula conduce a un punto de la línea en el infinito, que va a ser de la forma $(\infty,\pm1/D)$ o $(\pm1/D,\infty)$, donde aquí, "$\infty$" se refiere a una expresión que estalla con el cero en el denominador. Pero si $D=\sqrt d$ no $k$-racional, a continuación, sus fórmulas con coeficientes en $k$ no puede llevar a $1/\sqrt d$.

Answer 2

Solo quería dejar aquí un comentario de que la curva de Edward$x^2+y^2=1+dx^2y^2$ es isomorfa a una curva en la forma de Weierstrass de la forma:$$Y^2 = X^3 + (-4d - 4)X^2 - 64dX + 256d^2 + 256d.$ $ No creo que esto sea particularmente útil aquí, pero tenía curiosidad ver un modelo de Weierstrass ... así que aquí está. El subgrupo de torsión es genéricamente$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, generado por$(8 ,-16d + 16)$. Si$d$ es un cuadrado, obtenemos otro punto de orden$2$, como señala Lubin en otra respuesta, y obtenemos un subgrupo de torsión$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.