Permita que$A$ sea anillo conmutativo, y$S$ un conjunto multiplicativo. La localización$S^{-1}$:$A$ - module$\rightarrow$$S^{-1}A$ - module. Functor$F$:$S^{-1}A$ - module$\rightarrow$$A$ - module, regard$A$ como subprograma de$S^{-1}A$ y actúa en$S^{-1}A$ -módulo da un lado. ¿Hay otro functor que da el otro lado? Entonces puedo probar la exactitud de la localización.
Respuesta
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No. Aquí está una declaración general.
Teorema: Vamos a $A, B$ anillos y deje $_A M_B$ $(A, B)$- bimodule. Luego tensoring $(-) \otimes_A M$ define un functor $\text{Mod-}A \to \text{Mod-}B$. Este functor siempre tiene un derecho adjoint dado por $\text{Hom}_B(M, -)$, pero ha dejado adjunto iff $M$ es finitely generado proyectiva como una izquierda $A$-módulo. En este caso, el de la izquierda adjunto está dado por $(-) \otimes_B M^{\ast}$ donde $M^{\ast} \cong \text{Hom}_A(M, A)$.
La localización es el caso de que $M$$S^{-1}(A)$, considerado como una $(A, S^{-1}(A))$-bimodule, y $S^{-1}(A)$ casi nunca, incluso finitely genera como una $A$-módulo en general. En efecto, supongamos $A$ es una parte integral de dominio, $s \in A$ es distinto de cero y ya no es invertible, y localizamos invirtiendo $s$. Afirmo que el asociado functor $M \mapsto M \otimes_A A[s^{-1}]$ no puede mantener infinito productos, y por tanto no puede haber una izquierda adjunto: en particular, la natural mapa
$$(\prod_{i \in \mathbb{N}} A) \otimes A[s^{-1}] \to \prod_{i \in \mathbb{N}} (A[s^{-1}])$$
falla al ser un isomorfismo porque su imagen no contiene, por ejemplo, el elemento $(1, s^{-1}, s^{-2}, s^{-3}, ...)$.
Tenga en cuenta que si solo deseas $(-) \otimes_A M$ para ser exactos, a continuación, esto es equivalente a decir que el $M$ es plano como una izquierda $A$-módulo, y esto es mucho más débil condición de ser finitely generado proyectiva. En particular, cualquier filtrada colimit de tv de los módulos es plana, y $S^{-1}(A)$ es, naturalmente, un filtrado colimit de libre módulos. (No estoy diciendo que esto es cómo usted debe demostrar que es la localización exacta. Creo que sólo puede comprobarlo directamente.)
