Imagen de homomorfismo con núcleo $N$ isomófica a $M/N$

Question

Sea $M$ ser un $R$ -y $N$ sea un submódulo. Sea $f:M\rightarrow M'$ sea un homomorfismo suryectivo con núcleo $N$ . Cómo demostrar que $M'$ es isomorfo a $M/N$ ?

Mi pensamiento: Defina $g:M/N\rightarrow M'$ por $g(a+N)=f(a)$ .

Entonces $$g((a+N)+(b+N))=g(a+b+N)=f(a+b)=f(a)+f(b)=g(a+N)+g(b+N)$$ $$g((a+N)r)=g(ar+N)=f(ar)=f(a)r=g(a+N)r$$

Así que $g$ es un homomorfismo.

Para cualquier $a\notin N$ , $g(a+N)=f(a)\ne0$ . Por lo tanto, el núcleo de $g$ es $N$ sólo.

Por lo tanto, concluimos que $g$ es un isomorfismo y por tanto $M'\approx M/N$ .

¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

Has definido el mapa correctamente, luego has demostrado que era aditivo, lineal, suryectivo e inyectivo (¡todo correctamente!), ¡pero no has demostrado que estaba bien definido en primer lugar!

Inmediatamente después de definir el mapa, tienes que demostrar que está bien definido, ya que estamos tratando con cosets y sus representantes. Esto equivale a suponer que $a + N = b + N$ y demostrando que $g(a + N) = g(b + N)$ . Si esto no es cierto, entonces no estamos ante una función bien definida (por lo que todo lo que hicieras después carecería de sentido).

Desde $a + N = b + N$ entonces $a - b \in N$ por la propiedad de los cosets, lo que significa que $f(a - b) = 0$ desde $N = \ker f$ por hipótesis. Por lo tanto $f(a) = f(b)$ y así tenemos $$g(a + N) = f(a) = f(b) = g(b + N)$$ como desee.