Un subconjunto denso contable linealmente independiente de$l^2(\mathbb{N})$

Question

Posible duplicado:
¿Existe un subconjunto lineal independiente y denso?

Estoy buscando un ejemplo de un subconjunto denso contable del espacio de Hilbert$l^2(\mathbb{N})$ que consiste en vectores linealmente independientes

Answer 1

Basado en la respuesta de Davide. Comience con el conjunto$\{x_n\}$ de vectores con solo finitas muchas coordenadas distintas de cero, todas racionales. Eso es denso, pero no linealmente independiente. Luego elija una secuencia (digamos$2^{-n}, n=1,2,\dots$) que va a cero. Agregue$2^{-n}$ a la coordenada$r_n$ de$x_n$, elegido para que$r_n > r_{n-1}$ y la coordenada$r_n$ de todos$x_k, 1 \le k \le n$ sea cero. Esta nueva secuencia sigue siendo densa, pero también linealmente independiente.