En cuanto a una base para espacios del Vector Dimensional infinito

Question

En mi clase de álgebra lineal, durante el debate de espacios vectoriales, nuestro instructor menciona infinitas dimensiones de los espacios, incluyendo el polinomio espacio P y el espacio de todas las funciones continuas en el intervalo [0,1]. Nuestro maestro también advirtió que a pesar de Q[x] tiene una infinita base, los elementos reales del espacio vectorial puede ser descrito como una combinación lineal de un subconjunto finito de la base. Mi pregunta es: este es siempre el caso? O son algunos de los vectores descritos sólo por una especie de "infinita combinación lineal" de su base de elementos. Además, ¿la base de los elementos de espacios funcionales, tales como el mencionado anteriormente, parecen? Y de qué manera están definidos?

Answer 1

Permítanme responder a tus dos últimas preguntas primero:

En el ejemplo de $Q[t]$, lo que yo llamaría el "estándar" es $\{1, t, t^2, t^3, \dots \}$. Esta es una base porque cada polinomio en $Q[t]$ puede ser únicamente se expresa como una combinación lineal de los elementos. Pero hay muchas otras (de hecho, infinitamente muchos) bases para $Q[t]$; por ejemplo, $\{1, 1+ t, 1 + t +t^2, 1 + t + t^2 + t^3, \dots \}$ es también una base porque, de nuevo, cada polinomio puede ser únicamente se expresa como una combinación lineal de los elementos. (Como ejercicio, se puede expresar, decir, $t^2 +3t -1$ como una combinación lineal de los elementos en base a eso?) Recuerde, espacios vectoriales en general tienen muchas bases diferentes.

Ahora a su primera pregunta. Como otras respuestas han dicho, cada espacio vectorial $V$ tiene una base, que es un conjunto de vectores $B$ de manera tal que cada vector en $V$ puede ser el único escrito como una combinación lineal de los vectores en $B$. (Nota: por definición, la combinación lineal significa un finito sum).

Desafortunadamente, para muchos de los que ocurren comúnmente infinitas dimensiones de los espacios (por ejemplo, la función de espacios como el que usted ha mencionado), no hay una buena manera de escribir un explícito.

Una última nota: cuando uno estudia espacios de Hilbert (que es "completar producto interior espacios"), se usa el término "base" (o "ortonormales base") para significar algo sutilmente diferente de nuestro uso de "base". En ese contexto, se le permite tomar infinitas sumas de "base" de los elementos. Esto me confundía cuando estudié espacios de Hilbert.

Answer 2

Una base para $\mathbb{Q}[x]$ parece: $\{1,x,x^2,\ldots\}$


Para una base de $C[0,1]$, usted puede tener una mirada en El Faber–Schauder sistema que es un ejemplo de una base de Schauder. Wikipedia da una explicación suficiente de ambos.

Tenga en cuenta que, asumiendo el axioma de elección, todo espacio vectorial tiene una base. La prueba de la cual se invoca el Lema de Zorn, (que es equivalente a $\mathsf{AC}$). De hecho, la declaración de "Todo espacio vectorial tiene una base" es equivalente al axioma de elección.

También me gustaría dirigir a Martin respuesta en esta pregunta: ¿$\mathbb{R}^\mathbb{R}$tienen una base?
Él hace un gran trabajo de masaje de este tema.

Answer 3

Por definición, una base de un espacio vectorial es un conjunto linealmente independiente tales que cada vector en el espacio es una combinación lineal de elementos en la base.

En el caso de $\mathbb Q[x]$, se da una base obvia ${1,x,x^2,x^3,\ldots}$.