Si $p(2x+1)=p(x^2)$ % todo $x\in\mathbb{R}$, entonces el $p\equiv\text{const.}$

Question

Que $p\in \Bbb{R}[x]$ $\deg(p)=n$ (polinomio). Supongamos que $p(2x+1)=p(x^2)$ % todos $x\in\mathbb{R}$. Demostrar que $p\equiv\text{const.}$

Answer 1

Sugerencia: Si $p(2x + 1) = p\left(x^2\right)$ % todo $x\in\Bbb{R}$, $\deg(p(2x + 1)) = \deg\left(p\left(x^2\right)\right)$. Sabes $\deg p$, así lo puede usted deducir acerca de $\deg\left(p\left(x^2\right)\right)$?

Answer 2

Asumir que $n$ es el grado de $p$. En el lado izquierdo es un polinomio de grado $x\mapsto p(2x+1)$ $n$ y en el lado derecho es polinomio de grado $x\mapsto p(x^2)$ $2n$, revise ambas declaraciones por sí mismo. Estas expresiones deben ser las mismas de la ecuación. Por lo tanto, el grado en ambos lados debe ser igual. Que es solamente posible cuando $n=2n$ y así...