Borel Sigma Algebra

Question

La pregunta es preguntar si la familia:$\{(−a, a) : a \in \mathbb{R}\}$ no genera Borel$\sigma$ - álgebra.

Se sabe que la familia$\{(a,b) : a < b\}$ genera Borel$\sigma$ - álgebra. Estoy confundido acerca de la restricción en el problema anterior que le impide generar Borel$\sigma$ - álgebra.

¡Gracias!

Answer 1

Permita que$A$ sea un conjunto generado por la familia$\{(-a,a), a\in \mathbb R\}$. Si$x\in A$ entonces también$-x \in A$. Por lo tanto, esta familia solo puede generar conjuntos que son simétricos con respecto al origen.

Answer 2

Dejar $B_1=\{X:X\in B(R)~\&~-X=X\}$. Claramente,$B_1$ es$\sigma$ álgebra de subconjuntos de$R$ tal que$\{(-a,a):a \in R\} \subseteq B_1$. Por lo tanto,$\sigma(\{(-a,a):a \in R\}) \subseteq B_1$, pero$B(R) \setminus B_1 \neq \emptyset$ (porque$\{1\} \notin B_1$) lo que implica$B(R) \setminus \sigma(\{(-a,a):a \in R\}) \neq \emptyset$.