Función de una distribución no especificada generatriz de momentos

Question

Esta es la pregunta original - he insertado mi propio intento, por favor crítica como usted desea.

Supongamos que estamos interesados en el estudio de la cantidad de veces que una acción cae antes de que la primera aumenta en valor. Se sabe que el valor de las acciones aumenta con la probabilidad de $\theta$. Deje $Y$ ser el número de veces que el valor de las acciones se interrumpe antes de que la primera aumenta en valor.

1. Encontrar la MGF de Y, y por lo tanto E(Y).
   
2. Ahora supongamos que estamos interesados en 3 poblaciones. Es sabido que de forma independiente cada una de las acciones del valor aumentará con la probabilidad de $\theta$. Deje $Y_i$ ser el número de veces que el valor de las acciones se interrumpe antes de que en primer lugar los aumentos en el valor de las existencias de 1,2 y 3 respectivamente. Deje $V=5Y_1-3Y_2+2Y_3$. Encontrar la MGF de V.

Supongo que esto puede ser modelada como una distribución de Poisson. De ahí se ha pdf de $p(y)=\frac{\theta^x e^{-\theta}}{y!}$

$$E(e^{ty})=\sum\limits_{y=1}^\infty e^{ty}f(y)=e^{-\theta}e^{et\theta}\sum\limits_{y=1}^\infty \frac{(e^t\theta)^y e^{-(e^t\theta)}}{y!}$$ Lo que resultaría en MFG de $e^{\theta(e^t-1)}$. Después de la diferenciación y $t=0$, se obtiene que el $E(Y)=\theta$.

Ahora, según la segunda parte de la pregunta, no estoy seguro de si he procedido correctamente - $$M_v(t)=E(e^{t(5Y_1-3Y_2+2Y_3)})=M_{Y_1}(5t)M_{Y_2}(-3t)M_{Y_3}(2t)$$ ¿Cómo puedo simplificar aún más? O yo del enfoque de forma incorrecta? Gracias por toda la ayuda!

Answer 1

A partir de la definición de $Y$, es decir, "[l]et Y el número de veces que el valor de las acciones se interrumpe antes de que la primera aumenta en valor," supongo que esto significa que $Y$ sigue un geométrica de la distribución, con el "fracaso" = caída en el precio de las acciones y el "éxito" = aumento en el precio de las acciones. Por lo que la función de densidad de probabilidad de $Y$$f_{Y}(y) = \theta(1-\theta)^{y}$. Ver si usted entiende cómo me derivados de la pdf de la declaración del problema.

Entonces, en el momento de generación de la función de $Y$ está dado por $M_{Y}(t) = \dfrac{\theta}{1-(1-\theta)e^{t}}$. Una prueba de esto es la siguiente:

$M_{Y}(t) = E\left(e^{tY}\right) = \sum\limits_{y=0}^{\infty}e^{ty}*\theta(1-\theta)^{y}=\theta\sum\limits_{y=0}^{\infty}e^{ty}(1-\theta)^{y}=\theta\sum\limits_{y=0}^{\infty}[e^{t}(1-\theta)]^{y}$.

Suponemos que $|e^{t}(1-\theta)|<1$ a fin de que esta serie converge. Desde $0<\theta<1$, esto es lo mismo que decir que el $|e^{t}| < \dfrac{1}{1-\theta}$ o $t<\text{ln} \left( \dfrac{1}{1-\theta}\right)$. La serie es una serie geométrica que converge a $\dfrac{1}{1-(1-\theta)e^{t}}$, y multiplicando por $\theta$, se obtiene el resultado deseado. Por lo $\dfrac{\theta}{1-(1-\theta)e^{t}}$ es el momento de generación de la función de $Y$.

El valor esperado es dado por $M^{'}_{Y}(t)|_{t=0}=\dfrac{1-\theta}{\theta}$, que voy a tener que probar por ti mismo.

La manera en que lo hizo la segunda parte parece correcto. Sólo asegúrese de usar la distribución geométrica momento de generación de función para cada variable aleatoria.