Dado que el $x,y,z$ son reales positivos tales que $xyz=32$. Cuál es el valor mínimo de $x^2+4xy+4y^2+2z^2$.

Question

Dado que el $x,y,z$ son reales positivos tales que $xyz=32$. Cuál es el valor mínimo de $x^2+4xy+4y^2+2z^2$.

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Podría resolver esta cuestión por el método de multiplicadores de Lagrange. Y el valor mínimo de la expresión como $96$.

He intentado otros métodos para encontrar el valor mínimo como la desigualdad de AM-GM, pero no pude solucionarlo. Alguien por favor me puede decir un método que no sea multiplicador de Lagrange para encontrar su valor mínimo.

Answer 1

Es un asunto de arreglar términos para obtener $xyz$ derecha. Uso de AM-GM, $$x^2+2xy+2xy+4y^2+z^2+z^2\ge 6\sqrt[6]{16x^4y^4z^4}=96$ $ como igualdad es posible $x=2y=z=4$ tenemos el mínimo.

Answer 2

Podría sustituir $x = \frac{32}{yz}$ y luego se $f(y,z) = (\frac{32}{yz})^2+4\cdot 32/z + 4y^2+2z^2$. Buscar el mínimo de esta función. enlace