Cuántos componentes independientes hace un rango de tres totalmente simétrica del tensor tiene en $n$ dimensiones?
Necesarios para la irrep decompositon de $3\otimes 3\otimes 3$ en aquí.
Ni idea de por donde empezar a probar esto.
Me vino con un más inteligente manera de calcular hacia fuera para $n=3$, pero creo que no se puede generalizar. En $3$ dimensiones, totalmente antisimétrico (rango tres) tensor tiene un componente. A partir de aquí he contado los componentes que son distintos de cero de una forma totalmente simétrica . Tenemos la $3$ diagonal componentes, obviamente. Luego están los componentes de la forma $iij$ (no suma). El $i$s atropellado $3$ valores y $j$$2$. Desde $2\cdot 3=6$ tenemos $1+3+6=10$ componentes.
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Khushi
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Por un tensor de rango tres' creo que te refieres a un elemento de $\bigotimes^3V$. Esto no es lo que 'rango' significa en matemáticas. Un elemento de $\bigotimes^kV$ se dice que el fin (o grado) $k$.
Un rango de un tensor (o simple tensor) es un tensor de la forma $v_1\otimes\dots\otimes v_m$. El rango de un tensor $T$ es el mínimo número de clasificar a una tensores necesarias para expresar $T$ como una suma.
Deje $V$ $n$- dimensional espacio vectorial, entonces para cualquier $k \in \mathbb{N}$, vamos a $\operatorname{Sym}^kV$ denotar la colección de rango simétrico $k$ tensores en $V$; tenga en cuenta que $\operatorname{Sym}^kV$ es un espacio vectorial. Deje $v_1, \dots, v_n$ ser una base para $V$, entonces una base para $\operatorname{Sym}^kV$ está dado por
$$\left\{\frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in S_n}v_{\sigma(i_1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(i_k)} \mid 1 \leq i_1 \leq \dots \leq i_k \leq n\right\}.$$
Por lo tanto, $\dim\operatorname{Sym}^kV$ es igual al número de no-disminución de la secuencia de $k$ enteros en $\{1, \dots, n\}$. Vamos $x_1 = i_1 - 1$, $x_j = i_j - i_{j-1}$ para $j = 2, \dots, k$, e $x_{k+1} = n - i_k$. Tenga en cuenta que el número de no-disminución de las secuencias de $k$ enteros en $\{1, \dots, n\}$ está en una correspondencia uno a uno con el número de soluciones a $x_1 + \dots + x_{k+1} = n-1$ en enteros no negativos. El último número se puede encontrar utilizando las estrellas y las barras de método a partir de la combinatoria; de hacerlo, vemos que
$$\dim\operatorname{Sym}^kV = \binom{(n-1)+(k+1)-1}{n-1} = \binom{n + k -1}{n-1} = \binom{n+k-1}{k}.$$
Así que cada simétrica de orden $k$ tensor puede escribirse de forma única como combinación lineal de a $\binom{n+k-1}{k}$ base de tensores. Los coeficientes de esta combinación lineal son lo que ustedes se refieren como "componentes independientes". En el caso de que usted trabajó usted mismo, usted había $n = 3$$k = 3$, en cuyo caso el número de componentes independientes es
$$\binom{3+3-1}{3} = \binom{5}{3} = 10.$$
