medida en una variedad riemanniana no orientada

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad riemanniana no orientada de dimensión $m$ . El teorema de Nash implica que existe una incrustación isométrica $\phi: M\longrightarrow \mathbb{R}^n$ para $n$ suficientemente grande. La medida de Lebesgue de $\mathbb{R}^n$ induce una medida sobre $\phi(M)$ (inducimos la medida en $m$ -submanifold $\phi(M)$ localmente, similar al Teorema de Fubini). Por lo tanto, obtenemos una medida sobre $M$ . Si $\phi$ , $\psi$ son dos incrustaciones isométricas de $M$ en $\mathbb{R}^n$ , $\mathbb{R}^N$ o bien, como son isometrías, la medida inducida de $R^n$ es la misma con la medida inducida de $\mathbb{R}^N$ . Así, obtenemos una medida bien definida en la variedad no orientada $M$ .

¿Es mi argumento válido o no? Estoy muy confundido...

Answer 1

El argumento es válido, pero no se necesita el teorema de Nash para obtener la medida canónica en una variedad riemanniana no orientable $M$ . Hay otras formas:

1. $M$ es un espacio métrico, y por lo tanto lleva la $m$ -de Hausdorff. Esta medida (hasta la normalización) coincide con la que se obtiene de la forma de volumen cuando $M$ es orientable. Véase La medida de Riemann y la medida de Hausdorff en una Múltiple de Riemann general .
2. $M$ tiene un tapa doble orientable . Puede empujar la medida de la tapa para $M$ por el mapa de cobertura, que es una isometría local. Dividir por $2$ para una correcta normalización.
3. Utilice el concepto de $m$ -dimensional densidad .
4. Utilizar una partición de la unidad $(\varphi_i)$ subordinado para coordinar los parches. Definir la medida en cada parche utilizando su forma de volumen, multiplicar por $\varphi_i$ , suma sobre $i$ .