¿Supongo que $A$ es un subconjunto mensurable de Lebesgue de $\mathbb{R}$ y $$B = \bigcup_{x \in A} [x - 1, x + 1].$$Is $B$ Lebesgue mensurable?
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azerttyu
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Qiyu Wen
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La respuesta es sí, incluso para $A$ ser arbitraria de conjuntos de índice. El siguiente es de 2 Problema.J. de Topología General por Kelley:
Un adecuado intervalo se define como un abrir/cerrar/mitad-intervalo abierto con diferentes criterios de valoración. Deje $\mathscr{C}$ ser arbitraria de la familia de los intervalos correctos. Entonces hay una contables subconjunto $\mathscr{B}$$\mathscr{C}$, de tal manera que $\bigcup \mathscr{B} = \bigcup\mathscr{C}$.
Poner $C = \bigcup \mathscr{C}$. En primer lugar, vamos a comprobar que todos, pero en la mayoría de los countably muchos puntos en $C$ son los puntos del interior de algunos $I\in \mathscr{C}$. Si $x\in C$ no es un punto interior de cualquier $I\in \mathscr{C}$, entonces es un punto final de algunos (de media)intervalo cerrado en $\mathscr{C}$. Supongamos que tenemos una cantidad no numerable de tal $x$. WLOG, supongamos que una cantidad no numerable de ellos están a la izquierda de los puntos finales. Deje $S$ el conjunto de ellos.
Para cada una de las $s\in S$ le corresponde un adecuado intervalo de $[s,t) \subset I$ algunos $I\in \mathscr{C}$, de tal manera que $[s,t)\cap S = \{s\}$ (debido a otros puntos en $S$ no son los puntos del interior de $I$). Por lo tanto, estos intervalos adecuados $[s,t)$ son disjuntos a pares (de lo contrario, decir $[s_1,t_1)$ intersecta $[s_2,t_2)$$s_1 < s_2$,$s_2 \in [s_1,t_1)$). Pero $\mathbb{R}$ permite en la mayoría de los countably muchos pares distintos de los intervalos adecuados (porque es separable), la cual es una contradicción.
Deje $C'$ el conjunto de puntos de $x\in C$ tal que $x\in I^\mathrm{o}$ algunos $I\in \mathscr{C}$, la discusión anterior muestra que $C-C'$ es en la mayoría de los contables. Tenga en cuenta que $\{I^\mathrm{o}:I\in \mathscr{C}\}$ es una cubierta abierta de a $C'$. Desde $\mathbb{R}$ es secound-contable, esta apertura de la tapa admite una contables subcover. Deje $\mathscr{B}$ el conjunto de los intervalos correctos correspondientes a este subcover, junto con un elemento de $\mathscr{C}$ por cada $x\in C-C'$ que contiene $x$. A continuación, $\mathscr{B}$ es contable, y $\bigcup \mathscr{B} = C$.
