Dejemos que $W = (W_t;F_t)$ , $t \leq 0$ sea un proceso Wiener estándar, y que $(X_t)_{0 \leq t \leq 1}$ satisfacen la ecuación diferencial estocástica $$ dX_t =- \frac{X_t}{1-t}dt+dW_t,\quad 0 \leq t \leq 1,\quad X_0=0 $$
Encuentre $(X_t)_{0 \leq t \leq 1}$ y verificar que
$$ L^2\text{-}\lim_{t \to 1}X_t=0$$ $X$ se llama Puente Browniano .
Te daré una respuesta en el caso general del puente browniano.
Considere la SDE
$$dX_t =\frac{b-X_t}{1-t}dt+dW_t,\ X_0=a$$
para $t\in [0,1]$ con $a,b \in \mathbb R $ .
Se puede obtener una aproximación para resolver esta EDE mediante el método de la variación constante. En efecto, consideremos la siguiente EDO
$$ x'(t)= \frac{b-x(t)}{(1-t)} + f(t), \ x(0)=a$$ para $t\in [0,1]$ . Podemos obtener fácilmente por el método de la variación constante la solución de esta ecuación que viene dada por
$$x(t) = a(1-t) +bt +(1-t)\int_0^t \frac {f(s)}{1-s}ds$$
En este punto, nos gustaría simplemente aplicar este resultado con $f(t)=dW_t /ds$ lo que formalmente no es posible. Pero permítannos considerar esta fórmula de todos modos y luego demostrar que
$$X_t = a(1-t) +bt +(1-t)\int_0^t \frac {1}{1-s}dW_s\tag{1}$$
es una solución a nuestra SDE. Por efecto, una integración estocástica por partes nos da que
$$X_t = a(1-t) +bt +W_t-(1-t)\int_0^t \frac {W_s}{(1-s)^2}ds.$$
Entonces, si consideramos $Y_t = X_t-W_t$ tenemos $$ dY_t = \frac{b-Y_t}{1-t}dt - \frac{W_t}{1-t}dt$$ por lo que podemos concluir fácilmente el resultado deseado.
Ahora, sabiendo que el puente browniano tiene la forma dada por $(1)$ somos capaces de calcular su $L^2-$ límite. Tenga en cuenta que $X$ definido por $(1)$ es un proceso gaussiano con media $a(1-t)+bt$ . Usando la isometría de Ito, podemos calcular directamente $$ \mathbb E \{ X_t^2\}=\left[a(1-t)+bt\right]^2 + (1-t)^2\int_0^t \frac{1}{(1-s)^2}ds=\left[a(1-t)+bt\right]^2 +t(1-t)\underset{t\rightarrow 1}{\longrightarrow }b^2$$
que nos muestran que $L^2-\lim_{t \rightarrow 1} X_t =b$ (con $b=0$ en su caso).
En realidad, este límite se mantiene incluso $\mathbb P-\text{almost ever}$ .
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2 votos
Iba a preguntar qué es $L$ ? Pero entonces me di cuenta de que debe estar preguntando por el límite en $L^2$ . Qué notación tan horrible. (Pero es de suponer que no es culpa tuya.) Aunque eso no importa. ¿Qué has probado?
8 votos
Estás cometiendo un error habitual de los novatos en math.stackexchange.com: Estás formulando la pregunta de una manera apropiada para un instructor que asigna un problema. Esto puede despertar sospechas de que estás copiando taquigráficamente una pregunta que no entiendes, en lugar de formular una pregunta propia. Darnos algunas de tus propias ideas sobre esto puede ayudar.
1 votos
@HaraldHanche-Olsen : Ahora he cambiado el signo menos por un guión: donde decía $\displaystyle L^2-\lim_{t\to1}$ Ahora dice $\displaystyle L^2\text{-}\lim_{t\to1}$ . ${{}\qquad{}}$