Prueba de la existencia de la raíz cuadrada de la matriz unitaria y simétrica

Question

Estoy luchando con este ejercicio

Dejemos que $U$ sea una matriz unitaria y simétrica ( $U^T = U$ y $U^*U = I$ ).

Demostrar que existe una matriz compleja $S$ tal que:

• $S^2 = U$
• $S$ es una matriz unitaria
• $S$ es simétrico
• Cada matriz que conmuta con $U$ se conmuta con $S$

Answer 1

Dejemos que $\lambda_j, j=1 \ldots k$ sean los valores propios distintos de $U$ (que deben ser números de valor absoluto $1$ ). Para cada $\lambda_j$ dejar $\mu_j$ sea una raíz cuadrada de $\lambda_j$ . Estos también tienen valor absoluto $1$ . Hay un polinomio $p(z)$ tal que $p(\lambda_j) = \mu_j$ para cada $j$ . Dejemos que $S = p(U)$ .

1) $S^2 = p(U)^2 = U$ De hecho $p(z)^2 - z$ es divisible por $\prod_j (z - \lambda_j)$ que es el polinomio mínimo de $U$ .

2) Ya que $U$ es normal, el álgebra generada por $U$ y $U^*$ es conmutativo, y en particular $S$ es normal. Como $S$ es normal y sus valores propios, que son los $\mu_j$ tienen valor absoluto $1$ , $S$ es unitaria.

3) Cualquier potencia entera no negativa de una matriz simétrica es simétrica; $S$ es simétrica porque es una combinación lineal de las matrices simétricas $U^j$ .

4) Toda matriz que conmuta con $U$ conmuta con cada $U^j$ y por lo tanto con $S$ .

Answer 2

Primero, resuelve el caso de las matrices diagonales, que no debería ser muy difícil. A continuación, demuestre $U$ es diagonalizable, y ver si se puede utilizar ese resultado para reducir al caso anterior.