¿Transformación lineal inversible o no?

Question

Deje $ T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ ser una transformación lineal definido de tal forma que el producto interior de $\langle T(v), v \rangle = 0$ todos los $v$$\mathbb{R}^2$. Es $T$ invertible o no?

Intento: Si $T$ tiene los autovalores (es decir, el polinomio característico splits), a continuación, $0$ es un autovalor. Esto es debido a que $T(v) = kv$ ($k$ es un autovalor). Por lo tanto,$\langle Tv, v\rangle = \langle kv, v\rangle = k\langle v, v\rangle = 0$. Desde $v$ es nada en $\mathbb{R}^2$, no es necesariamente $0$, lo que implica $k = 0$. Así que si una transformación tiene un $0$ autovalor, no es invertible.

Si $T$ no tiene autovalores, entonces no es inyectiva y por lo tanto no es invertible.

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Answer 1

Con la información dada, se puede determinar la forma de $T$ muy específicamente, y ver que va a ser casi siempre es invertible. No necesitamos considerar eignevalues a todos.

Supongamos $T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ es lineal y $\forall v \in \mathbb{R}^2, \langle T(v),v\rangle=0$. A continuación, $T$ $\frac{\pi}{2}$ rotación, seguido por una escala.

Sugerencia: Si tomamos $e_1,e_2$ a ser el estándar de la base de $\mathbb{R}^2$,$\langle T(e_1),e_1\rangle = 0 = \langle T(e_2),e_2\rangle$. Usted puede usar esto para decir algo acerca de los valores de $T(e_i)$. Pero también tenemos que $\langle T(e_1+e_2),e_1+e_2\rangle=0$, lo que nos dice algo más. (Usando el hecho de que $T$ es lineal por lo $T(v+w)=T(v)+T(w)$.)