¿El límite de una suma (convirtiéndolo a una suma de Riemann)?

Question

Calcular el límite
$$\lim{n\to\infty}\sum{k=1}^{n}\frac{n^2}{(n^2+k^2)(n+k)}$$

---

He intentado solucionarlo cambiando una suma de Riemann y de integración, sin embargo yo no podía manipular el álgebra a su forma. ¿Existe otra forma de hacerlo o estoy en el camino correcto?

Answer 1

SUGERENCIA:

$\displaystyle\lim{n\to\infty}\sum{k=1}^{n}\frac{n^2}{(n^2+k^2)(n+k)}=\lim{n\to\infty}\frac1n\sum{k=1}^{n}\frac1{(1+(k/n)^2)(1+k/n)}$

Ahora, $\displaystyle\lim{n\to\infty}\frac1n\sum{k=1}^{n}f(k/n)=\int_0^1f(x)dx$

Déjeme por favor saber si usted puede completar la tarea después de usar Fracción parcial descomposición