Me han dado estos dos polinomios $$f(t)=t^3+2t+1 \text{ & }g(t)=t^3+t^2-t+2$ $ dice el problema, decidir si ambos campos de factorización son isomorfos. Para el segundo polinomio tengo %#% $ #% y la primera de ellas es irreducible ya que tiene grado 3 y no tiene ninguna raíz en $$g(t)=(t-1)(t-2)^2$, así que supongo que es suficiente para decir que ambos campos no son isomorfos, ya que el segundo es $\mathbb{Z}_3$ y el primero no. Aunque me gustaría explícitamente calcular campo de factorización de $\mathbb{Z}_3$ solo para ver como va pero no sé dónde empezar.
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El campo División de $f$ es $\mathbb{Z}_3[\alpha]$, donde $\alpha^3+2\alpha+1=0$, porque % $ $$t^3+2t+1=(t- \alpha) (t-\alpha+1) (t-\alpha-1)$
De hecho, la división larga da $$ t ^ 3 +2t +1 =(t-\alpha) (t ^ 2 + \alpha t + \alpha^2-1) $$ y $\alpha^2-1=(\alpha+1)(\alpha-1)$ sugieren que las raíces de $t^2+\alpha t+\alpha^2-1$ $\alpha+1$ y $\alpha-1$, lo cual es cierto porque $(\alpha+1)+(\alpha-1)=2\alpha=-\alpha$.
Behrouz Maleki
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que $\alpha$ es una raíz de $f$ $\mathbb{E}\,$(An extended field of $\mathbb{Z}_3$). $$f(\alpha)^3=(\alpha^3+2\alpha+1)^3=\alpha^9+2\alpha^3+1=f(\alpha^3)=0$ $ $$f(\alpha)^9=(\alpha^3+2\alpha+1)^9=\alpha^{18}+2\alpha^9+1=f(\alpha^9)=0$ $ por lo tanto $\alpha \,\, , \alpha^3$ y $\alpha^9$ raíces de $f$ $\mathbb{E}\,$ tenemos $$\mathbb{E}=\mathbb{Z}_3(\alpha)={a+x_1\alpha+x_2\alpha^2|a\,,\,x_i\in \mathbb{Z}_3}$ $
Per Hornshøj-Schierbeck
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No estoy seguro de si usted está preguntando acerca de esto, pero aquí viene de todos modos. Como explica a los demás de la división de campo de la $f$ 27 elementos. Es $\Bbb{Z}_3[\alpha]$ donde $\alpha$ es un cero de $f(x)$, en otras palabras, se satisface la ecuación de $\alpha^3-\alpha+1=0$. Alternativamente, usted puede pensar que acabo de indicar el coset $x+\langle f(x)\rangle\in\Bbb{Z}_3[x]/\langle f(x)\rangle$ $\alpha$ . Para mantener la notación de simple!!! Tenga en cuenta que debido a $0=3$ en este campo también tenemos $-1=2$ y, por tanto, $2x=-x$ en el polinomio de anillo.
Para mostrar que $K=\Bbb{Z}_3[\alpha]$ es la división de campo de la $f(x)$ usted necesita un poco de suerte o saber acerca de la teoría de Galois de la extensión de $K/\Bbb{Z}_3$. Esto último implica que los otros ceros de $f(x)$ $$ \alpha^3=\alpha^3-0=\alpha^3-f(\alpha)=\alpha-1 $$ y $$ \alpha^9=(\alpha-1)^3=\alpha^3-1^3=(\alpha-1)-1=\alpha+1. $$ Si se sabía que este es un buen ejercicio para comprobar con la mano que $\alpha\pm1$ también son los ceros de $f(x)$.
