¿Es correcto mi entendimiento para álgebra de grupo?

Question

Deje $G$ ser un grupo, $k$ ser un conmutativa unital anillo.

Considere la posibilidad de $\mathbf{Alg}_k^{inv}$ la categoría de unital $k$-álgebras de cuyo multiplicativo semigroup es un grupo. Entonces no es un olvidadizo functor $$U:\mathbf{Alg}_k^{inv}\to \mathbf{Grp}$$ que asigna a cada álgebra de su grupo multiplicativo. Este functor tiene derecho adjoint $$K:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Alg}_k^{inv}$$ which assigns to each group its group algebra. One can see this by observing that the group homomorphism $G\a U(k[G])$ is initial in the comma category $G\a U(\mathbf{Alg}_k^{inv})$ y por lo tanto es una unidad.

Hay algo mal con él, porque un $k$-representación de un grupo que se supone será equivalente a un $k[G]$-módulo. Pero ahora es raro, como corresponde a un álgebra de morfismos $k[G]\to Aut_k(V)$. Por favor me ayudan a señalar cuál es la manera correcta de entender grupo de álgebra.

OK, me di cuenta de por qué esto está mal. Pero ¿cuál es la forma correcta de pensar acerca de ello? El grupo de álgebra de la construcción de una izquierda medico adjunto algunas functor?

Answer 1

El grupo de álgebra es un functor $\mathsf{Grp} \to \mathsf{Alg}_K$, que está a la izquierda adjunto para el "grupo de unidades" functor $\mathsf{Alg}_K \to \mathsf{Grp}$, $A \mapsto A^\times$. Está definido para todos los unital $K$-álgebras. No no trivial anillo tiene la propiedad de que su subyacente semigroup es un grupo, debido a que $0$ no es invertible. Si $V$ algunos $K$-módulo, a continuación, una $K[G]$-módulo de estructura en $V$ (que restringe a la $K$-estructura del módulo) corresponde a un $K$-álgebra homomorphism $K[G] \to \mathrm{End}_K(V)$, por lo tanto (por contigüidad) a un grupo de homomorphism $G \to \mathrm{Aut}_K(V)$. Así que esta es, precisamente, una representación de $G$$V$.