¿Cuándo tiene un % de la matriz $A$con sobre y por encima de la diagonal $\det(A)=1$?

Question

Qué condiciones, si es necesarios, se colocarán en $\star$ así que la matriz

$$ \begin{pmatrix} 1 & & \huge{1} \ & \ddots & \ \huge{\star} & & 1 \end{pmatrix}, $$

¿para que $\det{(A)}=1$, donde $\huge{1}$ denota «todas las entradas por encima de la diagonal son %#% de #%», y $1$ es sólo algunas entradas escalares arbitrarias de un campo general $\huge{\star}$? Mi intuición me dice que no importa lo que es $F$.

EDITAR:

Más específicamente, caso omiso de mi solicitud de condiciones, pero suponer más bien que las entradas de la diagonal menor están $1$1 $\color{red}{\text{guaranteed to be less than $.

Answer 1

Que $$A = \begin{pmatrix} 1 & & &\huge{1} \ a1 & \ddots \ & \ddots & \ddots \ \huge{\star}& & a{n-1} & 1 \end{pmatrix}$$ be your matrix. I claim that $\det(A) = $ \prod_{i=1}^{n-1}(1-a_i).

Para ver por qué esto es cierto, tenga en cuenta que al ampliar el determinante de la primera columna, conseguir $$\det(A) = \begin{vmatrix}1 & & &\huge{1} \ a2 & \ddots \ & \ddots & \ddots \ \huge{\star}& & a{n-1} & 1\end{vmatrix} - a_1\begin{vmatrix}1 & & &\huge{1} \ a2 & \ddots \ & \ddots & \ddots \ \huge{\star}& & a{n-1} & 1\end{vmatrix}+0+0+\cdots+0,$ $ ya que las dos primeras filas son iguales excepto en sus primeras entradas.

Por lo tanto, $\det(A) = (1-a_1)\begin{vmatrix}1 & & &\huge{1} \ a2 & \ddots \ & \ddots & \ddots \ \huge{\star}& & a{n-1} & 1\end{vmatrix}$ y obtener nuestro resultado por inducción.

Por lo tanto la restricción que busca es $\prod_{i=1}^{n-1} (1-a_i) = 1$, donde $a1,\ldots,a{n-1}$ la diagonal inferior de la matriz.