Deje $u$ $v$ ser girado coordenadas. Es decir,
$$
\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.
$$
Usted quiere ser capaz de sustituir una ecuación cuadrática con el no $uv$ plazo para la cuadrática
$ax^2 + bxy + cy^2.$ Que es, quiere que haya corregido los coeficientes de $p$ $q$ tal que
$$ pu^2 + qv^2 = ax^2 + bxy + cy^2 \tag{1}$$
para cada par $(x,y).$
Es un poco tedioso, pero no es difícil, escribir $u$ $v$ cada uno en términos de
$x,$ $y,$ y $\theta,$ y para tapar estas sustituciones en $pu^2 + qv^2.$
Si usted recoge los términos en $x^2,$ $xy,$ y en $y^2,$
sabiendo que el resultado debe ser igual a $ax^2 + bxy + cy^2,$, se puede deducir
los valores de $a$, $b$, y $c$ en términos de estos otros parámetros.
Ahora a ver si usted puede tomar $a - c$ en los términos y hacer que se vea como
$(\mathit{something})\times \cos 2\theta.$
Si usted puede hacer $2b$ aspecto
$(\mathit{the\ same\ thing})\times \sin 2\theta,$
se le han demostrado su resultado deseado.
Usted puede evitar la realización de alrededor de todos esos factores de $x^2,$ $xy,$ y $y^2$
si reescribir la Ecuación de $(1)$ el uso de las matrices
$\begin{pmatrix} p&0 \\ q&0 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} a&b \\ x&d \end{pmatrix}$
y los vectores $\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$ y
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix},$ y realizar la sustitución obvio
para $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ inmediatamente; luego puede derivar una
ecuación de matriz que no implican $x$ o $y$ a todos.
Que la notación puede ser un poco más agradable con sus reflexiones iniciales sobre el problema.
