Ecuación diferencial

Question

He estado jugando con las ecuaciones diferenciales. Me puede resolver la ecuación diferencial $$y'\cdot y=1$$ para $y:\mathbb R\mapsto\mathbb R$, y también puedo resolver $$y''\cdot y=1$$ por medio de la sustitución en el ejemplo anterior. Sin embargo, no puedo resolver esta ecuación diferencial: $$y''\cdot y'\cdot y=1$$ ¿Alguien tiene alguna idea acerca de cómo solucionar esto?

Hasta ahora, la única técnica que sé que parece válida para esta ecuación diferencial es el uso de Series de Taylor, pero eso es demasiado complicado para mí para conseguir algo útil con ella.

Answer 1

Considerando la ecuación diferencial$$\frac{d^2y}{dx^2}\,\frac{dy}{dx}\,y=1$$ let us use $$\frac{dy}{dx}=\frac1 {\frac{dx}{dy}}\qquad \text{and}\qquad \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3 }$ $ (ver aquí ), entonces llegamos a$$x'' y=-(x')^4$$ Now, using $ u = x '$, this makes $$u' y=-u^4\implies \frac{u'}{u ^4}=-\frac 1y\implies \frac{1}{3 u^3}=\log(y)+c_1$$ which has three solutions in $ u $.

Teniendo en cuenta que uno de ellos$$u=\frac{1}{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\log (y)+c_1}}$ $$$x=-\frac{e^{-c_1} }{\sqrt[3]{3}}\Gamma \left(\frac{2}{3},-(c_1+\log (y))\right)+c_2$$ from which $ y $ no se puede extraer.

Answer 2

$$y''=\frac{dy'}{dy}\frac{dy}{dx},$ $$$y''y'y=y'^2\frac{dy'}{dy}y=\frac13\frac{dy'^3}{d\ln y}.$ $ Deberías poder terminar el resto.