Sobre la biyección lineal entre espacios de Banach

Question

Es bien sabido que, por el teorema de Banach, todo operador continuo, lineal y biyectivo entre espacios de Banach es un isomorfismo. Debe existir un operador lineal biyectivo y discontinuo ¡operador entre espacios de Banach! ¿Cómo podemos mostrar/construir tal mapa?

¡Gracias por todas las ayudas!

Answer 1

Tome cualquier espacio de Banach de dimensión infinita y elija su base de Hamel $\left(e_i\right)_{i\in I}$ , digamos, con $\left\|e_i\right\|=1$ . Definir $f\colon X \to X$ por

$$ f(e_i) = \alpha_i e_i $$

donde ${\alpha_i}$ es cualquier colección no limitada de números (no nulos). Es evidente que $f$ es una biyección, y $f$ no tiene límites, por lo que es discontinua.

Ahora bien, lo anterior se basa fundamentalmente en el axioma de la elección. Si no recuerdo mal, hubo una pregunta similar aquí, y se ha señalado que en ciertos modelos con negación del Axioma de Elección no hay mapas lineales discontinuos de espacios de Banach a espacios lineales normados en absoluto. Así que no puede haber un ejemplo "verdaderamente constructivo".

Probablemente sea un poco fuera de tema, pero esos ejemplos naturales existen para los espacios lineales incompletos normados. Uno muy conocido es un operador derivado para $C^\infty\left([0,1]\right)$ con norma suprema. No es inyectiva, pero sí lo es en un cociente por subespacio de funciones constantes.

Answer 2

Esto requiere alguna forma del Axioma de la Elección.
Tomemos dos espacios de Banach que no sean isomorfos, pero que ambos tengan bases de Hamel de la misma cardinalidad (que será el caso, por ejemplo, si ambos son de dimensión infinita y tienen cardinalidad $\bf c$ ) y definir un operador utilizando una correspondencia uno a uno entre las bases de Hamel.

Answer 3

Podemos construir una función lineal biyectiva que no sea continua incluso desde un espacio de Banach $E$ en sí mismo (claramente $B$ no puede ser de dimensión finita).

Utilizando $AC$ (necesitamos la base de Hamel) es fácil construir un funcional lineal discontinuo $$\varphi : B \to \mathbb{R}$$ Dejemos que $u\in B$ tal que $\varphi(u)=1$ . Entonces defina $$S : B \to B $$ $$S(x) = x - 2\varphi(x)u$$ tal $S$ es lineal y biyectiva, pero claramente no es continua.

linealidad

$S(\alpha x +\beta y ) = \alpha x +\beta y - 2\varphi(\alpha x +\beta y)u = \alpha x -2\alpha\varphi(x)u +\beta y - 2\beta\varphi(y)u = \alpha S(x) + \beta S(y)$

inyectabilidad

$S(x)=0 \Leftrightarrow x- 2\varphi(x)u =0 \Leftrightarrow x=2\varphi(x)u$ Pero $S(2\varphi(x)u) = -2\varphi(x)u = 0 \Leftrightarrow \varphi(x)=0 $ pero de nuevo (utilizando la observación que se acaba de hacer) $S(x)= x =0$

surjectivity

Por cada $y\in B$ , $ S(y)$ es una preimagen de la misma. Para demostrar este resultado consideremos esta cadena de igualdades obvias (estamos utilizando la definición, el hecho de que $\varphi(u)=1$ y la linealidad de $\varphi$ ). $$S(S(y))=S(y)-2\varphi(S(y))u=y-2\varphi(y)u-2\varphi(y-2\varphi(y)u)u= y-2\varphi(y)u -2\varphi(y)u+4\varphi(y)u=y$$

$$ \times \times \times \times \times \times $$

Encontré esta construcción al buscar normas completas no equivalentes sobre el mismo conjunto (es decir, dos espacios de Banach sobre el mismo conjunto cuyas normas no son equivalentes), de hecho $S: B \to B$ inducir una nueva completa norma sobre $B$ . Denotamos con $|| \cdot ||_1$ la norma original, entonces tenemos $|| x ||_2 := ||S(x)||_1$ . Utilizando la linealidad, la inyectividad y la subjetividad de $S$ no es difícil demostrar la integridad de dicha norma. Y como añadido final, las dos normas no puede ser equivalente ¡!

Edición 1 prueba añadida de subjetividad y linealidad

Edición 2 añadió un factor $2$ en la definición del operador

Edición 3 se ha añadido el cálculo ampliado que exige el PO