¿Dónde fui mal $\int_{0}^{\infty}{\mathrm dx\over (1+x)^2}=0$?

Question

Tener en cuenta

$$\int_{0}^{\infty}{e^{-x}\over 1+x}\mathrm dx=-eE_i(-1)=0.596347...\tag1$$

$$\int_{0}^{\infty}\left({1\over 1+x}-e^{-x}\right)\cdot{\mathrm dx\over 1+x}=eE_i(-1)=-0.596347...\tag2$$

$$\int_{0}^{\infty}{\mathrm dx\over (1+x)^2}=1\tag3$$

$E_i(x)$; Integral exponencial

Aquí está el problema, con que estoy tan confundida

$(1)+(2)$

$$ \int{0}^{\infty}{e^{-x}\over 1 + x} \int{0}^{\infty}\left({1\over 1+x}-e^{-x}\right)\cdot dx + \mathrm {\mathrm dx\over 1 + x} = 0\tag4$ $

Simplificar $(4)$

$$\int_{0}^{\infty}{\mathrm dx\over (1+x)^2}=0\tag5$$

$(5)$ supuesta que $\color{red}1$.

¿Por qué falló?

Answer 1

El valor de la integral (2) que escribió no es correcto. En $[0,\infty)$, debemos tener $(1+x)^{-1} \ge e^{-x}$, debido a que $$e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \ge 1 + x.$$ Thus, the integrand is strictly nonnegative for all $x \ge 0$.

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En Mathematica (Versión 10.4 en mi sistema), el comando

Integrate[(1/(1 + x) - Exp[-x])/(1 + x), {x, 0, Infinity}]

devuelve E ExpIntegralEi[-1] que a continuación se evalúa numéricamente da un número real negativo. Sin embargo,

NIntegrate[(1/(1 + x) - Exp[-x])/(1 + x), {x, 0, Infinity}]

da 0.403653 cual es el correcto. Sospecho que el problema tiene que ver con la rama de corte de la evaluación. Es posible que haya sido corregido en versiones posteriores. Tenga en cuenta que el valor correcto puede ser evaluado de manera simbólica, con el comando

Integrate[1/(1 + x)^2, {x, 0, Infinity}] - Integrate[Exp[-x]/(1 + x), {x, 0, Infinity}]