¿Implica que $|f\sin (x)|$ integrable en $\mathbb{R}$ $|f|$ integrable en $\mathbb{R}$?

Question

Yo creo que no. Porque nosotros normalmente requieren $|f|$ a ser integrable en ℝ por lo que tiene la transformada de fourier.

Puede alguien darme un contraejemplo para la declaración en el título? He buscado durante bastante tiempo, pero aún no tienes un contraejemplo.

De hecho, estoy tratando de encontrar la condición necesaria y suficiente para que la siguiente igualdad se mantiene. $$F(b)−F(a)=\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{−iat}−e^{−ibt}}{it}\phi (t)dt,\forall a,b \in \mathbb{R} $$ donde $F$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria $X$ $\phi$ es la función característica de a $X$. La integral es en el sentido de Lebesgue.

Me encontré con que $\frac{e^{−iat}−e^{−ibt}}{it}\phi(t)$ integrable para todos los $a,b$ $X$ no tiene punto de masa sería una condición necesaria y suficiente. Pero es difícil controlar la $\frac{e^{−iat}−e^{−ibt}}{it}\phi(t)$ integrable para todos los $a,b$.

Ya que no es difícil ver que $\int_{[T,∞)∪(−∞,−T]}|\phi(t)|/|t|dt<∞ $algunos $T>0$ implicaría que $\frac{e^{−iat}−e^{−ibt}}{it}\phi(t)$ integrable para todos los $a,b$. Tomando $a=−1,b=1, \frac{e^{−iat}−e^{−ibt}}{it}\phi(t)$ integrable para todos los $a,b$ implica $2\sin(t)\phi(t)/t$ integrable y, a continuación, me pregunto si la declaración contenida en el título es cierto.

Answer 1

Como comentaron, la respuesta es negativa: por ejemplo, $f(x) =|x|^{-1} e^{-|x|}$ es un nonintegrable función tal que $|f(x)\sin x|$ a nivel mundial es integrable.

Más generalmente, los siguientes son equivalentes:

1. $f$ es integrable siempre $fg$ es;
2. $\operatorname{ess\,inf}|g|>0$

De hecho, si 2) falla, entonces los conjuntos de $A_n = \{x: 2^{-n}\le |g(x)|<2^{1-n}\}$ tiene medida positiva para infinidad de $A_n$. Restringir la atención a sólo tal $n$ y escoger un subconjunto $B_n\subset A_n$ finito de medida positiva para cada uno de ellos. A continuación, la función
$$ f(x) = \sum_n |B_n|^{-1} \chi_{B_n} $$ no es integrable, sino $fg$ es. $\quad\Box$

La implicación $2) \implies 1)$ es fácil.