Mostrar un subconjunto de$S_n$ es un subgrupo

Question

Sea $P$ el conjunto de todos los elementos de $S_n$ que puede ser escrito como $\sigma\mu\sigma^{-1}\mu^{-1}$ $\sigma, \mu \in S_n$. Muestra es un subgrupo.

Esto no parece ser tan simple como cambiar la disposición de elementos y la manipulación de términos. Absolutamente Estoy atascado. ¿Puede alguien ayudarme?

He intentado reorganizar $klk^{-1}l^{-1}mnm^{-1}n^{-1}$ en el % de forma $\sigma\mu\sigma^{-1}\mu^{-1}$

Answer 1

Con respecto a los comentarios:

Que $(xyz)$ sea un $3$ ciclo en $S_n$. A continuación, $(xyz)=(xzy)^2=((xy)(xz))^2=(xy)(xz)(xy)(xz)=(xy)(xz)(xy)^{-1}(xz)^{-1}$, que $(xyz)\in P$. También sabemos que los 3-ciclos generan $A_n$. Por lo tanto, si podemos demostrar que un producto finito de $3$-ciclos puede escribirse en la forma $\sigma\mu\sigma^{-1}\mu^{-1}$, entonces hemos terminado.