Invariantes de Galois del módulo de Tate de una curva elíptica sobre un campo

Question

Deje $K$ ser un campo de número, $E$ ser una curva elíptica sobre $K$, $l \neq p$ ser dos diferentes números primos y $v$ ser un lugar de $K$ sobre $l$.

Estoy tratando de entender la prueba de la proposición I. 6.7 en el libro de Euler Sistemas por Rubin (que se puede encontrar aquí : http://swc.math.arizona.edu/aws/1999/99RubinES.pdf)

Creo que en algún punto se utiliza el hecho de $T_p(E)^{G_{K_v}}= 0$. Es cierto, y si sí ¿por qué ? (escribimos $T_p(E) = \varprojlim E(\overline{K})[p^n]$, la Tate módulo de $E$$p$).

Answer 1

Estamos buscando en el local, situación completa por encima de $\ell$ a $p^m$-torsión puntos de $E$ todos los $m$. ¿Qué significa decir que el $T_p(E)^{G_v}\ne0$ donde $G_v=G_{K_v}$, el grupo de Galois de una expresión algebraica cierre de $K_v$$K_v$? Esto significaría que existe una secuencia coherente de $p^m$-torsión puntos de $E$, en particular infinitamente muchos de ellos, que son racionales a través de una extensión finita de $K_v$. Pero ya que tenemos la secuencia exacta $$0\>\rightarrow\>\widehat E(\mathfrak m)\>\rightarrow E(\mathfrak o)\>\rightarrow\>\tilde E(\kappa)\rightarrow\>0\,,$$ esto no puede suceder. Aquí, $\widehat E(\mathfrak m)$ es los puntos de un grupo formal de $E$ con valores en la máxima ideal $\mathfrak m$ de el anillo de $\mathfrak o$ $v$- enteros de $K_v$ (o algunos finito de extensión si es necesario); $E(\mathfrak o)$ $\mathfrak o$- puntos de $E$ (igual al $K_v$de los puntos), y $\tilde E(\kappa)$ es el grupo de puntos de la reducción de la curva de $\tilde E$ racional sobre el campo finito $\kappa$ de los característicos $\ell$. Pero los puntos de un grupo formal son los únicos divisible por cualquier prime de $\ell$, por lo que no hay $p$-torsión; y sólo hay un número finito de puntos en el campo finito. Así que no es bueno.